معادله‌های قابل تبدیل به درجه‌دو

تغییر متغیر

در هر کجای ریاضی دیدید چیزی دارد تکرار می‌شود، آن را \( t \) بگیرید و خلاص!

معادلۀ \( (\sqrt{x}+1)^2-(\sqrt{x}+1)=12 \) را حل کنید.

پاسخ

عبارت \( \sqrt{x}+1 \) تکرار شده و آن را \( t \) می‌‏گیریم: \( t=\sqrt{x}+1 \). با این کار، معادله به شکل \( t^2-t-12=0 \) در می‌‏آید. پس \( (t+3)(t-4)=0 \) و درنتیجه \( t=-3 \) یا \( t=4 \). حالا که \( t \) به دست آمد، دوباره می‏‌رویم سراغ \( x \):

\begin{align*} t=-3 &\Rightarrow \sqrt{x}+1=-3 \\ &\Rightarrow \sqrt{x}=-4 \;\text{oops!}\\ t=4 &\Rightarrow \sqrt{x}+1=4\\ &\Rightarrow \sqrt{x}=3 \Rightarrow x=9 \end{align*}

معادله‌های به فرم \( ax+b\sqrt{x}+c=0 \)

معادلۀ \( ax+b\sqrt{x}+c=0 \)، با تغییر متغیر \( t=\sqrt x \) به معادلۀ درجه‌دوم \( at^2+bt+c=0 \) تبدیل می‌شود. از هر \( t \)ی نامنفی، یک \( x \) به دست می‌آید و خلاص:

\[ t=\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow x=t^2 \]

مقادیر \( m \) را طوری تعیین کنید که معادلۀ \( mx-2m\sqrt{x}+(m-1)=0 \) دو جواب متمایز داشته باشد.

پاسخ

تغییر متغیر \( t=\sqrt{x} \)، این معادله را داریم:

\[ m t^2-2mt+(m-1)=0 \]

با توجه به نامنفی‌‏بودن \( x \) و \( t \)، برای داشتن دو \( x \) در معادلۀ اول، باید دو \( t \)ی نامنفی و متمایز در معادلۀ دوم داشته باشیم. یعنی \( \Delta >0 \)، \( S>0 \) و \( P\ge 0 \). شرط وجود دو جواب متمایز، این است:

\begin{align*} \Delta &=(-2m)^2-4m(m-1)\\ &=4m^2-4m^2+4m=4m\\ \Delta &>0 \Rightarrow m>0 \end{align*}

شرط \( S=-\frac{-2m}{m}=2>0 \) برقرار است (البته باید \( m\ne 0 \) باشد). هم‏‌چنین:

\begin{align*} &P=\frac{m-1}{m}\ge 0 \\ &\xrightarrow{m\,>\,0} m-1\ge 0 \\ &\Rightarrow m\ge 1 \end{align*}

اشتراک نتایج بالا، همین \( m\ge 1 \) است.

معادله‌های دومجذوری به فرم \( ax^4+bx^2+c=0 \)

معادلۀ \( ax^4+bx^2+c=0 \)، با تغییر متغیر \( t=x^2 \) به معادلۀ درجه‌دوم \( at^2+bt+c=0 \) تبدیل می‌شود.

از هر \( t \)ی مثبت، دو \( x \) قرینه به دست می‌آید:

\[ t=x^2 \geq 0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{t} \]
  • از \( t=0 \) به \( x=0 \) می‌رسیم.
  • \( t \)های منفی، \( x \)ی در پی ندارند.

معادلۀ \( x^4-8x^2-9=0 \) را حل کنید.

پاسخ

با تغییر متغیر \( t=x^2 \)، معادله این‏‌شکلی می‌‏شود:

\[ t^2-8t-9=0 \]

در این معادلۀ درجه‏‌دوم، رابطۀ \( b=a+c \) برقرار است (\( -8=1-9 \)). پس ریشه‏‌های آن \( t=-1 \)
و \( t=-\frac{c}{a}=9 \) هستند. حالا:

\begin{align*} t=-1 &\Rightarrow x^2=-1 \;\text{oops!}\\ t=9 &\Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 \end{align*}

معادله‌های به فرم \( ax^2+b|x|+c=0 \)

با تغییر متغیر \( t=|x| \) به معادلۀ درجه‌دوم \( at^2+bt+c=0 \) تبدیل می‌شود. هم‌چنین:

\[ t=x^2 \geq 0 \Rightarrow x=\pm t \]

مقادیر \( m \) را طوری تعیین کنید که معادلۀ \( x^2+(m+6)|x|\,+3m=0 \) فاقد جواب باشد.

پاسخ

با تغییر متغیر \( t=\,|x| \)، معادله این‏‌شکلی می‌‏شود:

\[ t^2+(m+6)t+3m=0 \]

دلتای این معادله همیشه مثبت است. ببینید:

\begin{align*} \Delta &=(m+6)^2-4(1)(3m)\\ &=m^2+12m+36-12m\\ &=m^2+36 \end{align*}

مثل این‏‌که معادلۀ دوم (برحسب \( t \)) همواره دو جواب حقیقی و متمایز دارد!
پس چگونه ممکن است معادلۀ اول (برحسب \( x \)) فاقد جواب باشد؟ خب زمانی که آن دو مقدار \( t \) منفی باشند! در واقع معادلۀ دوم باید دو جواب منفی داشته باشد. پس در آن، \( S<0 \) و \( P>0 \):

\begin{align*} P=3m>0 &\Rightarrow m>0\\ S=-(m+6)<0 &\Rightarrow m+6>0\\ &\Rightarrow m>-6 \end{align*}

اشتراک این حرف‌‏ها، می‌‏شود \( m>0 \).

در حال حاضر دیدگاهی وجود ندارد. شما اولین دیدگاه را ثبت کنید!

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

ده + 11 =