عبارت‌های متقارن برحسب ریشه‌ها

اگر \( x_1 \) و \( x_2 \) ریشه‌های یک معادلۀ درجه‌دوم باشند، آن‌گاه مجموع مربعات ریشه‌ها برابر است با:

\begin{align*} {x_1}^2+{x_2}^2 &=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\ &=S^2-2P \end{align*}

اتحاد مربع دوجمله‌‏ای و نتیجۀ آن را بلدیم:

\begin{align*} (a+b)^2 &=a^2+b^2+2ab\\ \Rightarrow a^2+b^2 &=(a+b)^2-2ab \end{align*}

در این‌‏جا با فرض \( a=x_1 \) و \( b=x_2 \)، داریم:

\begin{align*} x_1^2+x_2^2 &=(\underbrace{x_1+x_2}_{S})^2-2\underbrace{x_1 x_2}_{P}\\ &=S^2-2P \end{align*}

عبارت \( \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2} \) را برحسب \( S \) و \(P \) بنویسید.

پاسخ

برای رهایی از رادیکال‌‏ها، توان دومِ عبارت را حساب می‏‌کنیم و آخر کار جذر می‏‌گیریم:

\begin{align*} (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2 &=x_1+x_2+2\sqrt{x_1 x_2}\\ &=S+2\sqrt{P} \end{align*}

البته در این مورد، باید \( x_1 \) و \( x_2 \) نامنفی باشند. به هر حال، یادمان نرود جذر بگیریم:

\[ \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{S+2\sqrt{P}} \]

عبارت \( |x_1-x_2| \) را برحسب \( S \) و \(P \) بنویسید.

پاسخ

به توان 2 برسانیم، کمی جگرمان خنک شود:

\begin{align*} &A=|x_1-x_2|\\ &\Rightarrow A^2=(x_1-x_2)^2\\ &={x_1}^2+{x_2}^2-2x_1 x_2 \end{align*}

گفتیم \( {x_1}^2+{x_2}^2=S^2-2P \)، پس:

\begin{align*} A^2 &=(S^2-2P)-2P\\ &=S^2-4P\\ \Rightarrow A &=|x_1-x_2|\\ &=\sqrt{S^2-4P} \end{align*}

اگر \( x_1 \) و \( x_2 \) ریشه‌های یک معادلۀ درجه‌دوم باشند، آن‌گاه مجموع مکعبات ریشه‌ها برابر است با:

\begin{align*} {x_1}^3+{x_2}^3 &=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)\\ &=S^3-3PS \end{align*}

اتحاد مکعب دوجمله‌‏ای و نتیجه‌‏ای از آن را ببینید:

\begin{align*} (a+b)^3 &=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ \Rightarrow a^3+b^3 &=(a+b)^3-3ab(a+b) \end{align*}

در این‏‌جا با فرض \( a=x_1 \) و \( b=x_2 \)، داریم:

\begin{align*} {x_1}^3+{x_2}^3 &=(\underbrace{x_1+x_2}_{S})^3-3\underbrace{x_1 x_2}_{P}(\underbrace{x_1+x_2}_{S})\\ &=S^3-3PS \end{align*}

به زودی مثال!