تشکیل معادلۀ درجه‌دوم

تشکیل معادله با داشتن دو ریشۀ سادۀ آن

اگر \( \alpha \) و \( \beta \) دو ریشۀ یک معادلۀ درجه‌دوم باشند، آن معادله به صورت زیر است:

\[ a(x-\alpha)(x-\beta)=0 \]

مقادیر \( m \) و \( n \) را طوری بیابید که \( x=4 \) و \( x=-6 \) ریشه‏‌های معادلۀ درجه‏‌دوم \( 3 x^2+mx+n=0 \) باشند.

پاسخ

معادلۀ درجه‏‌دومی که ریشه‌‏هایش 4 و \( -6 \) باشند، به شکل \( (x-4)(x+6)=0 \) یا ضریبی از آن است. در این‌‏جا می‏‌خواهیم آن ضریب 3 باشد. یعنی همان ضریب \( x^2 \) در معادله‏‌ای که در صورت سؤال می‏‌بینیم. پس معادله دقیقاً به این شکل است:

\begin{align*} &3(x-4)(x+6)=0\\ &\Rightarrow 3(x^2+2x-24)=0\\ &\Rightarrow 3x^2+6x-72=0 \end{align*}

از مقایسۀ این معادله با \( 3x^2+mx+n=0 \) می‏‌فهمیم که \( m=6 \) و \( n=-72 \).

تشکیل معادله با داشتن ریشۀ مضاعف آن

اگر \( \alpha \) ریشۀ مضاعف یک معادلۀ درجه‌دوم باشد، آن معادله به صورت زیر است:

\[ a(x-\alpha)^2=0 \]

معادلۀ درجه‏‌دومی بنویسید که ضریب \( x^2 \)ی آن 25 و ریشۀ‏ مضاعف آن \( x=-\,0/2 \) باشد.

پاسخ

معادلۀ درجه‏‌دومی که \( x=-0/2=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5} \) ریشۀ مضاعف آن باشد، به‌صورت \( (x+\frac{1}{5})^2=0 \) یا ضریبی از آن است. در این‌‏جا می‌‏خواهیم آن ضریب 25 باشد. یعنی همان ضریب \( x^2 \) که صورت سؤال گفته. پس معادله این‏‌شکلی است:

\begin{align*} &25\,(x+\frac{1}{5})^2=0\\ &\Rightarrow 25(x^2+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25})=0 \\ &\Rightarrow 25x^2+10x+1=0 \end{align*}

تشکیل معادله با داشتن حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب ریشه‌های آن

با داشتن \( S \) و \( P \)ی معادلۀ درجه‌دوم، آن معادله به صورت زیر یا ضریبی از آن است:

\[ x^2-Sx+P=0 \]

با تشکیل معادلۀ درجه‏‌دوم مناسب، دو عدد بیابید که حاصل‏‌جمع آن‏ها 9 و حاصل‏‌ضربشان 13 باشد.

پاسخ

می‌‏نویسیم: \( S=9 \) و \( P=13 \). دو عدد موردنظر، ریشه‌‏های معادلۀ \( x^2-Sx+P=x^2-9x+13=0 \) هستند:

\[ x=\frac{9\pm \sqrt{81-52}}{2}=\frac{9\pm \sqrt{29}}{2} \]

معادلۀ درجه‌‏دومی بنویسید که ریشه‏‌های آن \( x_1=\dfrac{3+\sqrt{2}}{4} \) و \( x_1=\dfrac{3-\sqrt{2}}{4} \) باشند.

روش اول

‏حاصل‌جمع و حاصل‏‌ضرب ریشه‌‏ها را پیدا می‏‌کنیم:

\begin{align*} S &=x_1+x_2\\ &=\frac{3+\sqrt{2}}{4}+\frac{3-\sqrt{2}}{4}\\ &=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\ P &=x_1 x_2\\ &=\frac{3+\sqrt{2}}{4}\times \frac{3-\sqrt{2}}{4}\\ &=\frac{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{16}\\ &=\frac{9-2}{16}=\frac{7}{16} \end{align*}

معادله به شکل \( x^2-Sx+P=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{16}=0 \) یا ضریبی از آن است. فکر کنم با ضریب 16 موافق باشید:

\[ 16{{x}^{2}}-24x+7=0 \]
روش دوم

از مقایسۀ \( x=\frac{3\pm \sqrt{2}}{4} \) با \( x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} \)، حدس می‌‏زنیم \( a=2 \)، \( b=-3 \) و \( \Delta =2 \) باشد. یعنی \( b^2-4ac=2 \) و درنتیجه \( 9-8c=2 \)، پس \( c=\frac{7}{8} \).
با این حساب، معادله به صورت \( ax^2+bx+c=2x^2-3x+\frac{7}{8}=0 \) یا ضریبی از آن است، مثل \( 16{{x}^{2}}-24x+7=0 \).

روش سوم

رابطۀ \( x=\frac{3\pm \sqrt{2}}{4} \) را به‌‏صورت \( 4x=3\pm \sqrt{2} \) می‌‏نویسیم و رادیکالِ آن را تنها می‏‌کنیم: \( 4x-3=\pm \sqrt{2} \). حالا دو طرف را به توان 2 می‏‌رسانیم:

\begin{align*} &(4x-3)^2=(\pm \sqrt{2})^2\\ &\Rightarrow 16x^2-24x+9=2\\ &\Rightarrow 16x^2-24x+7=0 \end{align*}

تشکیل معادله با داشتن رابطۀ بین ریشه‌ها

  • صورت مسئله: معادله‌ای درجه‌دوم با ضرایب پارامتری داریم که رابطۀ مشخصی بین ریشه‌های آن بیان شده است.
  • راهکار برای یافتن پارامتر: حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را می‌نویسیم و از رابطۀ داده‌شده نیز استفاده می‌کنیم.

در معادلۀ درجه‏‌دوم \( 2x^2-9x+m=0 \) یک ریشه از 2 برابر ریشۀ دیگر 3 واحد کم‏تر است. مقدار \( m \) را بیابید.

پاسخ

ریشه‏‌های معادله را \( x_1 \) و \( x_2 \) می‏‌نامیم. بر اساس گفتۀ سؤال، می‏‌نویسیم: \( x_2=2x_1-3 \) از روی معادله می‏‌بینیم که \( S=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2} \) و این یعنی \( x_1+x_2=\frac{9}{2} \).
اما گفتیم \( x_2=2x_1-3 \)، پس:

\[ x_1+(2x_1-3)=\frac{9}{2} \Rightarrow x_1=\frac{5}{2} \]

حالا \( x_2=2x_1-3=2(\frac{5}{2})-3=2 \) و درنتیجه \( P=x_1 x_2=\frac{5}{2}\times 2=5 \).
اما از روی معادله می‌‏بینیم که \( P=\frac{c}{a}=\frac{m}{2} \). یعنی:

\[ \frac{m}{2}=5 \Rightarrow m=10 \]

دو ریشۀ قرینه، دو ریشۀ معکوس

اگر یک معادلۀ درجه‌دوم دو ریشۀ قرینه داشته باشد، حتماً ضریب \( x \) در آن صفر است:

\[ ax^2+bx+c=0 \rightarrow b=0 \]

و اگر دو ریشۀ معکوس داشته باشد، حتماً ضریب \( x^2 \) و عدد ثابت \( c \) در آن برابر هستند:

\[ ax^2+bx+c=0 \rightarrow a=c \]

توجه کنید که دو ریشۀ قرینه، جمعشان صفر می‌‏شود:

\[ S=0 \Rightarrow -\frac{b}{a}=0 \Rightarrow b=0 \]

هم‌چنین دو ریشۀ معکوس، ضربشان 1 می‌‏شود:

\[ P=1 \Rightarrow \frac{c}{a}=1 \Rightarrow a=c \]

تشکیل معادله از روی معادلۀ دیگر، روش اول

  • صورت مسئله: معادله‌ای درجه‌دوم داریم و می‌خواهیم معادلۀ درجه‌دوم دیگری بنویسیم که ریشه‌هایش ارتباط مشخصی با ریشه‌های معادلۀ اول دارد.
  • راهکار: حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلۀ جدید را برحسب حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلۀ اول می‌نویسیم. با داشتن \( S \) و \( P \) ، معادله به شکل \( x^2-Sx+P=0 \) یا ضریبی از آن است.

معادلۀ درجه‏‌دومی بنویسید که ریشه‌‏های آن یک واحد بیشتر از ریشه‌‏های معادلۀ \( 3x^2+5x-4=0 \) باشد.

پاسخ

ریشه‏‌های معادلۀ \( 3x^2+5x-4=0 \) را \( \alpha \) و \( \beta \) می‏‌گیریم. در این صورت، داریم:

\[ \alpha +\beta =-\frac{5}{3} \quad , \quad \alpha \beta =-\frac{4}{3} \]

حالا ریشه‌‏های معادلۀ جدید \( \alpha +1 \) و \( \beta +1 \) هستند. حاصل‏‌جمع و حاصل‏‌ضرب این دو ریشه را می‏‌نویسیم:

\begin{align*} S &=(\alpha +1)+(\beta +1)\\ &=(\alpha +\beta )+2\\ &=-\frac{5}{3}+2=\frac{1}{3}\\ P &=(\alpha +1)(\beta +1)=\alpha \beta +\alpha +\beta +1\\ &=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}+1=-2 \end{align*}

معادلۀ جدید به شکل \( x^2-Sx+P=x^2-\frac{1}{3}x-2=0 \) یا ضریبی از آن است. فکر کنم موافق باشید دو طرف را در 3 ضرب کنیم:

\[ 3x^2-x-6=0 \]

تشکیل معادله از روی معادلۀ دیگر، روش دوم

در این روش، گام‌های زیر را طی می‌کنیم:

  • گام 1: ریشه‌های معادلۀ اول را \( x \) و ریشه‌های معادلۀ جدید را \( X \) می‌گیریم.
  • گام 2: با توجه به رابطۀ مشخص‌شده، \( x \) را برحسب \( X \) می‌نویسیم.
  • گام 3: نتیجه را در معادلۀ اول به‌جای \( x \) قرار می‌دهیم.

معادلۀ درجه‏‌دومی بنویسید که ریشه‌‏های آن یک واحد بیشتر از ریشه‌‏های معادلۀ \( 3x^2+5x-4=0 \) باشد.

پاسخ

ریشه‌‏های معادلۀ \( 3x^2+5x-4=0 \) را \( x \) و ریشه‌‏های معادلۀ جدید را \( X \) می‌‏گیریم. سؤال گفته \( X=x+1 \)، پس: \( x=X-1 \) حالا در معادلۀ \( 3x^2+5x-4=0 \)، به‏‌جای \( x \) قرار می‌‏دهیم \( X-1 \):

\begin{align*} &3(X-1)^2+5(X-1)-4=0\\ \Rightarrow &3(X^2-2X+1)+(5X-5)-4=0\\ \Rightarrow &3X^2-6X+3+5X-5-4=0\\ \Rightarrow &3X^2-X-6=0 \end{align*}

می‌‏توانیم این معادله را در هر عدد غیرصفری که دوست داشتیم ضرب کنیم.

دو معادله با ریشه‌های قرینه

اگر یک معادلۀ درجه‌دوم داشته باشیم و بخواهیم معادلۀ درجه‌دوم دیگری بنویسیم که ریشه‌هایش قرینۀ ریشه‌های معادلۀ اولیه باشد، کافی است ضریب \( x \) را قرینه کنیم:

\[ ax^2+bx+c=0 \rightarrow ax^2+bx+c=0 \]

توجیه این نکته را با استفاده از روش دومی که مطرح کردیم، ببینید:

\begin{align*} X=-x &\Rightarrow x=-X\\ &\Rightarrow a(-X)^2+b(-X)+c=0\\ &\Rightarrow aX^2-bX+c=0 \end{align*}

دو معادله با ریشه‌های معکوس

اگر یک معادلۀ درجه‌دوم داشته باشیم و بخواهیم معادلۀ درجه‌دوم دیگری بنویسیم که ریشه‌هایش عکس ریشه‌های معادلۀ اولیه باشد، کافی است ضریب \( x^2 \) یعنی \( a \) و عدد ثابت \( c \) را جابه‌جا کنیم:

\[ ax^2+bx+c=0 \rightarrow cx^2+bx+a=0 \]

توجیه این نکته را با استفاده از روش دومی که مطرح کردیم، ببینید:

\begin{align*} X=\frac{1}{x} &\Rightarrow x=\frac{1}{X}\\ &\Rightarrow a(\frac{1}{X})^2+b(\frac{1}{X})+c=0\\ &\xrightarrow{\times X^2}a+bX+c{{X}^{2}}=0 \end{align*}

که شکل استاندارد آن، به‌صورت \( cX^2+bX+a=0 \) است.

معادلۀ درجه‏‌دومی بنویسید که ریشه‌‏های آن قرینۀ معکوسِ ریشه‌‏های معادلۀ \( 5x^2+3x-6=0 \) باشد.

پاسخ


\( b \) را قرینه و جای \( a \) و \( c \) را عوض می‏‌کنیم: \( -6x^2-3x+5=0 \). هر ضریبی از این معادله هم قبول است. مثل قرینه‏‌اش:

\[ 6x^2+3x-5=0 \]

در حال حاضر دیدگاهی وجود ندارد. شما اولین دیدگاه را ثبت کنید!

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

19 − 17 =