بحث در تعداد و علامت ریشه‌ها

تعداد و نوع ریشه‌ها

شرایط لازم برای داشتن انواع ریشه را بلدیم:

دارای ریشۀ حقیقی: \( \Delta \ge 0 \)
دو ریشۀ متمایز (ساده): \( \Delta>0 \)
دو ریشۀ یکسان (یک ریشۀ مضاعف): \( \Delta=0 \)

این هم شرایط لازم برای داشتن ریشۀ مضاعف با علامت مشخص:

ریشۀ مضاعف مثبت:

\[ \Delta=0 \;,\; -\frac{b}{2a}>0 \]

ریشۀ مضاعف منفی:

\[ \Delta=0 \;,\; -\frac{b}{2a}<0 \]

معادلۀ \( 2x^2+mx+8=0 \) ریشۀ مضاعف منفی دارد. آن ریشه را بیابید.

پاسخ

ریشۀ مضاعف یعنی دلتا صفر:

\begin{align*} \Delta &=m^2-64=0\\ &\Rightarrow m^2=64\\ &\Rightarrow m=\pm 8 \end{align*}

از طرفی ریشۀ مضاعف، برابر \( -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{m}{4} \) است و برای منفی‏بودن آن لازم است \( m \) مثبت باشد. پس \( m=8 \) و ریشۀ مضاعف، \( x=-\dfrac{m}{4}=-2 \) است. در واقع معادلۀ موردنظر به شکل \( 2x^2+8x+8=2(x+2)^2 \) می‌باشد.

دو ریشۀ هم‌علامت با علامت مشخص

شرایط لازم برای داشتن دو ریشۀ مثبت یا دو ریشۀ منفی، حفظ‌کردنی نیست!

دو ریشۀ متمایز و مثبت:

\[ \Delta>0 \;,\; S>0 \;,\; P>0 \]

دو ریشۀ متمایز و منفی:

\[ \Delta>0 \;,\; S<0 \;,\; P>0 \]

معادلۀ \( (2m-3)x^2+mx+1=0 \) دو جواب متمایز و منفی دارد. مقادیر \( m \) را بیابید.

پاسخ

دو جواب منفی، یعنی \( S<0 \) و \( P>0 \). معمولاً از \( P \) استارت بزنیم، کارمان راحت‌‏تر می‌‏شود.

\begin{align*} P &=\frac{1}{2m-3}>0\\ &\Rightarrow 2m-3>0\\ &\Rightarrow m>\frac{3}{2}\\ S &=-\frac{m}{2m-3}<0\\ &\Rightarrow \frac{m}{2m-3}>0\\ &\xrightarrow{2m-3>\,0}m>0 \end{align*}

شرط وجود دو جواب متمایز را هم بنویسیم (دلتا را گذاشتیم آخر ولی یادمان نرفته):

\begin{align*} \Delta &= m^2-4(2m-3)(1)\\ &=m^2-8m+12\\ &=(m-2)(m-6)\\ \Delta & >0 \Rightarrow m<2 \end{align*}

اشتراک همۀ این حرف‌‏ها، می‌‏شود:

\[ \frac{3}{2} < m < 2 \]

دو ریشۀ هم‌علامت و دو ریشۀ مختلف‌العلامت

شرایط لازم برای داشتن دو ریشۀ هم‌علامت یا غیرهم‌علامت، حفظ‌کردنی نیست!

دو ریشۀ متمایز و هم‌علامت:

\[ \Delta>0 \;,\; P>0 \]

دو ریشۀ مختلف‌العلامت:

\[ P<0 \]

همین شرط کافی است و مثبت‌شدن دلتا را هم تضمین می‌کند!

معادلۀ \( x^2+2x+m=1 \) دو جواب متمایز و هم‏‌علامت دارد. مجموعه مقادیر ممکن برای \( m \) را بیابید.

پاسخ

معادله را استاندارد بنویسیم:

\[ x^2+2x+(m-1)=0 \]

هم‌‏علامت، یعنی ضرب ریشه‌‏ها مثبت:

\begin{align*} &P>0\\ &\Rightarrow m-1>0\\ &\Rightarrow m>1 \end{align*}

شرط وجود دو جواب متمایز یادمان نرود:

\begin{align*} &\Delta >0\\ &\Rightarrow 4-4(m-1)>0\\ &\xrightarrow{\div 4}1-m+1>0\\ &\Rightarrow m<2 \end{align*}

اشتراک نتایج می‌‏شود:

\[ 1 < m < 2 \]

معادلۀ \( mx^2+(m-4)x+(m+2)=0 \) یک ریشه مثبت و یک ریشۀ منفی دارد. مقادیر \( m \) را بیابید.

پاسخ

دو ریشۀ مختلف‏العلامت داریم و این یعنی \( P<0 \):

\[ \frac{m+2}{m}<0 \Rightarrow -2 < m <0 \]

نوشتن شرط \( \Delta >0 \) کار اضافی است. خودتان امتحان کنید!

تعداد و نوع ریشه‌ها

دو ریشۀ هم‌علامت با علامت مشخص

دو ریشۀ هم‌علامت و دو ریشۀ مختلف‌العلامت

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ