واسطۀ هندسی

واسطۀ هندسی

اگر \( a,b,c \) سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ هندسی باشند، آن‌گاه:

\[ b^2=a \cdot c \]

را میانگین هندسی یا واسطۀ هندسی \( a \) و \( c \) می‌نامیم.

دقت کنید که وقتی \( a,b,c \) تشکیل دنبالۀ هندسی با قدرنسبت \( r \) می‌دهند، می‌توانیم بنویسیم:

\[ \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}=r \Rightarrow b^2=ac \]

حتی اگر \( a\,,\,b\,,\,c \) سه جملۀ‌ متوالی نباشند، اما فاصلۀ‌ \( a \) تا \( b \) با فاصلۀ‌ \( b \) تا \( c \) مساوی باشد، باز \( b \) واسطۀ هندسی \( a \) و \( c \) است. منظور از فاصلۀ دو جمله، اختلاف شمارۀ آن‌هاست.

مقدار \( x \) را از دنبالۀ هندسی \( x-1\,,a\,,b\,,x+1\,,c\,,d\,,x+4\,,\cdots \) بیابید.

پاسخ

از نظر فاصله، وسط \( x-1 \) و \( x+4 \) قرار دارد. پس:

\begin{align*} (x+1)^2 &=(x-1)(x+4)\\ \Rightarrow x^2+2x+1 &=x^2+3x-4\\ \Rightarrow x &=5 \end{align*}

درج واسطه‌های هندسی

اگر بین دو عدد \( a \) و \( b \)، تعداد \( n \) عدد درج کنیم (قرار دهیم) طوری‌که دنباله‌ای هندسی تشکیل شود، تعداد جملات دنباله \( n+2 \) خواهد بود؛ یعنی \( t_1=a \) و \( t_{n+2}=b \).

برای پیداکردن قدرنسبت دنباله، می‌نویسیم:

\begin{align*} &r^{m-n}=\dfrac{t_m}{t_n} \\ &\Rightarrow r^{(n+1)-1}=\dfrac{t_{n+1}}{t_1} \\ &\Rightarrow r^{n+1}=\dfrac{b}{a} \end{align*}

با توجه به رابطۀ اندیس‌ها، حاصل‌ضرب کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین اعداد درج‌شده، مساوی \( ab \) می‌شود.

بین 2 و 50 سه عدد را چنان قرار داده‌‏ایم که پنج عدد حاصل تشکیل دنبالۀ هندسی بدهند. قدرنسبت دنباله را بیابید.

پاسخ

در دنبالۀ حاصل، \( t_1=2 \) و \( t_5=50 \)، بنابراین:

\begin{align*} &r^{m-n}=\frac{t_m}{t_n}\\ &\Rightarrow r^{5-1}=\frac{t_5}{t_1}\\ &\Rightarrow r^4=\frac{50}{2}=25\\ &\Rightarrow r=\pm \sqrt[4]{5} \end{align*}