واسطۀ حسابی

واسطۀ حسابی

اگر \( a,b,c \) سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ حسابی باشند، آن‌گاه \( 2b=a+c \) و به‌عبارت بهتر:

\[ b= \frac{a+c}{2} \]

\( b \) را میانگین حسابی یا واسطۀ حسابی \( a \) و \( c \) می‌نامیم.

دقت کنید که وقتی \( a,b,c \) تشکیل دنبالۀ حسابی می‌دهند، می‌توانیم بنویسیم \( b-a=c-b \) (مساوی قدرنسبت دنباله هستند) و درنتیجه \( 2b=a+c \).

حتی اگر \( a\,,\,b\,,\,c \) سه جملۀ‌ متوالی نباشند، اما فاصلۀ‌ \( a \) تا \( b \) با فاصلۀ‌ \( b \) تا \( c \) مساوی باشد، باز \( b \) واسطۀ حسابی \( a \) و \( c \) است. منظور از فاصلۀ دو جمله، اختلاف شمارۀ آن‌هاست.

اگر دنبالۀ \( 2a\,,a+6\,,3a\,,\cdots \) حسابی باشد، مقدار جملۀ ششم دنباله چیست؟

پاسخ

دو برابر جملۀ وسط، با مجموع دو جملۀ دیگر مساوی است:

\begin{align*} &2(a+6)=(2a)+(3a)\\ &\Rightarrow 2a+12=5a\\ &\Rightarrow 3a=12\\ &\Rightarrow a=4 \end{align*}

حالا دنباله به‌‏صورت \( 8\,,10,12,\cdots \) است. یعنی \( t_1=8 \) و قدرنسبت دنباله \( d=10-8=2 \) می‌باشد. بنابراین جملۀ ششم برابر می‏‌شود با:

\[ t_6=t_1+5d=8+5(2)=18 \]

درج واسطه‌های حسابی

اگر بین دو عدد \( a \) و \( b \)، تعداد \( n \) عدد درج کنیم (قرار دهیم) طوری‌که دنباله‌ای حسابی تشکیل شود، تعداد جملات دنباله \( n+2 \) خواهد بود؛ یعنی \( t_1=a \) و \( t_{n+2}=b \).

برای پیداکردن قدرنسبت دنباله، تفاضل جمله‌های اول و آخر را بر تفاضل شمارۀ این دو جمله، تقسیم می‌کنیم:

\begin{align*} d &=\dfrac{t_m-t_n}{m-n} \\ &=\dfrac{t_{n+2}-t_1}{(n+2)-1} \\ &=\dfrac{b-a}{n+1} \end{align*}

با توجه به رابطۀ اندیس‌ها، حاصل‌جمع کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین اعداد درج‌شده، مساوی \( a+b \) می‌شود.

بین 11 و 83 پنج عدد قرار داده‏ایم ‏طوری‏که هفت عدد حاصل تشکیل دنبالۀ حسابی بدهند. بزرگ‏ترین آن اعداد چیست؟

پاسخ

خب در دنبالۀ حاصل، \( t_1=11 \) و \( t_7=83 \). قدرنسبت می‌‏شود:

\begin{align*} d &=\frac{t_m-t_n}{m-n}\\ &=\frac{t_7-t_1}{7-1}\\ &=\frac{83-11}{6}=12 \end{align*}

قدرنسبت مثبت و روند جملات افزایشی است، پس از بین پنج عدد جدید، عدد بزرگ‏تر قبل از 83 قرار می‌‏گیرد:

\[ 83-d=83-12=71 \]