مجموعه، مقدمات

مجموعه

«مجموعه»، دسته‌ای از اشیاء مشخص و متمایز است. اما این صرفاً یک «توصیف» برای مجموعه به حساب می‌آید، نه «تعریف» آن! در ریاضی، «مجموعه» تعریف نشده است.

چرا در ریاضی نمی‌توان تعریف دقیقی برای «مجموعه» ارائه کرد؟ چون دور تسلسل ایجاد می‌شود:
«مجموعه چیست؟ دسته‌ای از …؛ دسته چیست؟ گروهی از …؛ گروه چیست؟ … مجموعه‌ای از …!»

«چهار عدد طبیعی زوج»، مجموعه به حساب نمی‌آید؛ چون «مشخص» نیست که کدام چهار عدد طبیعی زوج مد نظر است! هم‌چنین \( \{ 2,4,4,6,8,8 \} \) نمایش مناسبی برای یک مجموعه نیست؛ چون شرط «متمایز بودن» اشیای داخل مجموعه رعایت نشده است. شکل درست، این است که شیء تکراری ننویسیم: \( \{ 2,4,6,8 \} \).

عضو مجموعه

  • وقتی عدد یا شیء \( a \) متعلق به مجموعۀ \( A \) است، می‌گوییم \( a \) «عضو» \( A \) است و می‌نویسیم \( a \in A \).
  • اگر \( a \) عضو \( A \) نباشد، این مطلب را به صورت \( a \notin A \) نمایش می‌دهیم.
  • مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد، تهی نامیده می‌شود و آن را با \( \varnothing \) نشان می‌دهیم.

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین نمایش می‌دهیم؛ هم‌چنین عضوهای یک مجموعه را با دو آکولاد می‌پوشانیم و با ویرگول از هم جدا می‌کنیم؛ مثل \( A=\{ 2,4,6,8 \} \).

نماد \( \{\;\} \) نیز نشان‌دهندۀ مجموعۀ تهی است.

عضوهای یک مجموعه می‌توانند از جنس عدد، کلمه، مجموعه و هر چیز دیگری باشند.

اگر عضوهای یک مجموعه، ویژگی مشترکی داشته باشند، می‌توان با بیان آن ویژگی به زبان ریاضی، مجموعه را معرفی کرد. مثال را ببینید!

دقت کنید که مجموعه‌ای مثل \( \{ \varnothing \} \) تهی محسوب نمی‌شود؛ بلکه مجموعه‌ای است که یک عضو دارد و عضو آن، خودش از جنس مجموعه (برابر با مجموعۀ تهی) است!

در مثال‌های زیر، نماد «\( \mid \)» خوانده می‌شود «به‌قسمی‌که» یا «به‌طوری‌که» و به‌جای آن، از «:» نیز می‌توان استفاده کرد.
مجموعه اعداد طبیعی زوج با نمایش عضوها به صورت \( \{2,4,6,8\,,\ldots\} \) و به زبان ریاضی به صورت زیر است:

\[ \{2k \mid k \in \mathbb{N}\} \]

مجموعه اعداد طبیعی فرد با نمایش عضوها به صورت \( \{1,3,5\,,7,\ldots\} \) و به زبان ریاضی به صورت زیر است:

\[ \{2k-1 \mid k \in \mathbb{N}\} \]

مجموعه اعداد طبیعی سه‌رقمی با نمایش عضوها به صورت \( \{100,101,\ldots,999\} \) و به زبان ریاضی به صورت زیر است:

\[ \{x \in \mathbb{N} \mid 100 \leq x \leq 999 \} \]

زیرمجموعه

  • اگر هر عضو مجموعۀ \( A \)، عضو مجموعۀ \( B \) نیز باشد، می‌گوییم \( A \) زیرمجموعۀ \( B \) است و می‌نویسیم \( A \subseteq B \).
  • در غیر این صورت (عضوی در \( A \) باشد که در \( B \) نباشد)، می‌نویسیم \( A \nsubseteq B \).
  • از \( A \subseteq B \) و \( B \subseteq A \) نتیجه می‌شود \( A=B \) و برعکس.
  • هر مجموعۀ \( n \)عضوی، دارای \( 2^n \) زیرمجموعه است که «خود مجموعه» و «مجموعۀ تهی» نیز جزء آن‌هاست.

در این شکل‌ها، یک مجموعه زیرمجموعۀ دیگری است:

در این شکل‌ها، زیرمجموعه نمی‌بینیم:

نماد «\( \subset \)» برای زیرمجموعۀ محض به‌کار می‌رود؛ وقتی می‌نویسیم \( A \subset B \) یعنی \( A \subseteq B \) و \( A \neq B \).