عملیات اصلی روی مجموعه‌ها

اجتماع: اجتماع دو مجموعۀ \( A \) و \( B \) را با \( A \cup B \) نشان می‌دهیم و شامل تمام عضوهایی است که در \( A \) یا \( B \) یا هر دو باشند.

اشتراک: اشتراک دو مجموعۀ \( A \) و \( B \) را با \( A \cap B \) نشان می‌دهیم و شامل تمام عضوهایی است که هم در \( A \) و هم در \( B \)باشند.

تفاضل: مجموعۀ \( A-B \) شامل تمام عضوهایی از \( A \) است که در \( B \) نباشند. در واقع، باید عضوهای مشترک دو مجموعه را از مجموعۀ اول یعنی \( A \)خط بزنیم.

توجّه

مجموعۀ \( B-A \) نیز به‌طور مشابه تعریف می‌شود:

\[ B-A= \{ x \mid x \in B \,,\, x \notin A \} \]

نمایش هندسی حرف‌های بالا، در نمودارهای زیر آمده است. به این سبک نمودارها، می‌گویند «وِن»!

قلقلک

لازم نیست بدانید که تفاضل متقارن \( A \) و \( B \)، با نماد \( A \Delta B \) نشان داده و به صورت زیر تعریف می‌شود!

\[ A \,\Delta\, B = (A-B) \cup (B-A) \]

مثال

با فرض \( A=\{1,2,3,4\} \) و \( B=\{2,3,4,5\} \)، داستان این‌شکلی می‌شود:

\begin{align*} A \cup B &= \{1,2,3,4,5\}\\ A \cap B &= \{2,3,4\}\\ A-B &= \{1\}\\ B-A &=\{5\} \end{align*}

صحنه آهستۀ \( A-B \) و \( B-A \) را ببینید:

\begin{align*} A-B &=\{\,\overbrace{1\,,\,\underbrace{\cancel{2}\,,\,\cancel{3}\,,\,\cancel{4}}_{A \cap B}}^{A}\,\}\\ B-A &=\{\,\overbrace{\underbrace{\cancel{2}\,,\,\cancel{3}\,,\,\cancel{4}}_{A\cap B}\,,\,5}^{B}\,\} \end{align*}