بازه‌ها

بازه (فاصله) و بازه‌های کراندار (از دو طرف، محدود)

بازه نوعی مجموعه است که عضوهای آن اعداد حقیقیِ به‌هم‌چسبیده هستند و نمایش آن بر روی محور اعداد حقیقی، به شکل قطعه‌ای از محور می‌باشد.
فرم کلی بازه‌های کراندار (از دو طرف، محدود) به‌صورت زیر است.

بازۀ بسته:

\[ [a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \} \]

بازۀ نیم‌باز از راست:

\[ [a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \} \]

بازۀ نیم‌باز از چپ:

\[ (a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \} \]

بازۀ باز:

\[ (a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \} \]

در جدول بالا، فرض کرده‌ایم \( a<b \) است. اگر \( a>b \) باشد، تمام بازه‌ها تهی خواهند بود. هم‌چنین در حالت \( a=b \) داریم:

\begin{align*} &(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing\\ &[a,a]=\{a\} \end{align*}

در هر یک از بازه‌های فوق، \( a \) و \( b \) «نقاط انتهایی» بازه نامیده می‌شوند و به تفاضل آن‌ها یعنی \( b-a \)، «طول بازه» می‌گوییم.
اگر جایی نماد \( ]a,b[ \) را دیدید، منظور بازۀ \( (a,b) \) است. اگر \( ]a,b] \) را دیدید، منظور چیست؟!

بازه‌های بیکران (حداقل از یک طرف، نامحدود)

فرم کلی بازه‌های کراندار (حداقل از یک طرف، نامحدود) به‌صورت زیر است.

بازۀ نیم‌باز از راست:

\[ [a,+\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \} \]

بازۀ باز:

\[ [a,+\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \} \]

بازۀ نیم‌باز از چپ:

\[ (-\infty,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b \} \]

بازۀ باز:

\[ (-\infty,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b \} \]

این‌ها را هم بلد باشید که:

\begin{align*} &\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)\\ &{\mathbb{R}}^+ = (0,+\infty)\\ &{\mathbb{R}}^- = (-\infty,0) \end{align*}

دقت کنید که \( +\infty \) و \( -\infty \) عدد حقیقی نیستند.
\( +\infty \) نمایندۀ اعداد حقیقی مثبت و بسیار بزرگ و \( -\infty \) نمایندۀ اعداد حقیقی منفی و بسیار کوچک است.

قِلِقِ انجام عملیات مختلف روی بازه‌ها

برای محاسبۀ اجتماع، اشتراک‌ یا تفاضل‌ بازه‌ها و مجموعه‌هایی که برحسب بازه‌ها نوشته شده‌اند، ذهنی عمل نکنید؛ همه چیز را روی محور اعداد حقیقی نشان دهید و خیلی شیک و مجلسی کارتان را انجام دهید!

با فرض \( A = (-2,1] \cup (2,5) \) و \( B = (-1,2) \cup [4,7) \)، حاصل \( A \cup B \) و \( A \cap B \) را بیابید.

پاسخ

این شکل را ببینید:

\begin{align*} A \cup B &= (-2,2) \cup (2,7)\\ &= (-2,7) – \{2\}\\ A \cap B &= (-1,1] \cup [4,5) \end{align*}

بدون نمایش هندسی و استفاده از محور اعداد حقیقی، ممکن بود گیج شویم!