چند نکته در مورد دنباله‌های هندسی

یک تاکتیک به‌دردبخور!

وقتی حاصل‌ضرب سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ هندسی را داریم، بهتر است آن‌ها را این‌گونه در نظر بگیریم:

\[ \frac tr \; , \; t \; , \; t \, r \]

خوبی این کار این است که در ضرب جملات، \( r \)ها ساده می‌شوند و \( t \) خیلی راحت پیدا می‌شود.
مشابه آن‌چه در دنبالۀ حسابی گفتیم، برای 5 جمله، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

\[ \frac{t}{r^2}\;,\;\frac{t}{r}\;,\;t\;,\;t\,r\;,\;t\,r^2 \]

و برای 4 جمله، این‌گونه عمل می‌کنیم و البته در این حالت، قدرنسبت \( r^2 \) است:

\[ \dfrac{t}{r^3}\;,\;\dfrac{t}{r}\;,\;t\,r\;,\;t\,r^3 \]

در یک دنبالۀ هندسی با جملات مثبت و افزایشی، حاصل‏‌ضرب سه جملۀ متوالی 64 و حاصل‏‌جمع آن‏ها 14 است. قدرنسبت دنباله را بیابید.

پاسخ

سه جمله را به‌‏صورت \( \frac tr \,,\, t \,,\, tr \) در نظر می‏‌گیریم و فرض می‌‏کنیم \( r>1 \) تا با توجه به مثبت‌‏بودن جملات، دنباله افزایشی شود. حاصل‌‏ضرب سه جمله 64 است:

\begin{align*} &(\frac{t}{r})(t)(t\,r)=64\\ &\Rightarrow t^3=64=4^3\\ &\Rightarrow t=4 \end{align*}

حاصل‌‏جمع سه جمله هم 14 است:

\begin{align*} &\frac{t}{r}+t+t\,r=14\\ &\Rightarrow t\,(\frac{1}{r}+1+r)=14\\ &\xrightarrow{t=4} 4(\frac{1}{r}+r+1)=14\\ &\Rightarrow r+\frac{1}{r}=\frac{7}{2}-1=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\\ &\xrightarrow{r>1} r=2 \end{align*}

رابطۀ اندیس‌ها

اگر دو دستۀ‌ دوتایی از جملات یک دنبالۀ هندسی را داشته باشیم طوری‌که مجموع شمارۀ‌ جملات دو دسته با هم مساوی باشد، آن‌گاه حاصل‏ضرب خود جملات با هم مساوی خواهد بود:

\begin{align*} &m+n=p+q \\ \Rightarrow \; &t_m \cdot t_n=t_p \cdot t_q \end{align*}

می‌توان تعداد دسته‌ها را با رعایت شرط مساوی‌بودن، افزایش داد. مثلاً در یک دنبالۀ هندسی، بنویسیم:

\begin{align*} t_2\cdot t_5\cdot t_{11} &=t_3\cdot t_7\cdot t_8\\ &=t_4\cdot (t_7)^2\\ &=(t_6)^3 \end{align*}

مشابه مثالی که در دنبالۀ حسابی زدیم، برای دو دنبالۀ هندسی با 100 و 99 جمله، می‌نویسیم:

\begin{align*} t_1\cdot t_{100} &=t_2\cdot t_{99}\\ &=t_3\cdot t_{98}\\ &\quad\vdots\\ &=t_{50}\cdot t_{51}\\ \\ t_1\cdot t_{99} &=t_2\cdot t_{98}\\ &=t_3\cdot t_{97}\\ &\quad\vdots\\ &=t_{50}\cdot t_{50}\\ &=(t_{50})^2 \end{align*}