مقایسۀ اعداد توان‌دار

اگر پایه بزرگ‌تر از 1 باشد، بزرگ‌تربودن توان، منجر به بزرگ‌تربودن حاصل می‌شود:

\[ a>1 \quad \Rightarrow \quad \cdots < a^{-3} < a^{-2} < a^{-1.2} < a < a^2 < a^{3.4} < \cdots \]

اگر پایه بین صفر و 1 باشد، بزرگ‌تربودن توان، منجر به کوچک‌تربودن حاصل می‌شود:

\[ 0 < a <1 \quad \Rightarrow \quad \cdots > a^{-3} > a^{-2} > a^{-1.2} > a > a^2 > a^{3.4} > \cdots \]

برای پایه‌های منفی، نمی‌توان کیلویی اظهارنظر کرد و باید به دو چیز توجه داشت:

وقتی پایه منفی است، توان نمی‌تواند غیرصحیح باشد.
اگر توان زوج باشد، حاصل عبارت مثبت است و اگر توان فرد باشد، حاصل عبارت منفی است.

توان فرد، هیچ‌گاه جهت نامساوی را عوض نمی‌کند:

\[ a < b \Rightarrow a^{2n-1} < b^{2n-1} \]

اگر پایه‌ها مثبت باشند، توان زوج جهت نامساوی را عوض نمی‌کند:

\[ 0 < a < b \Rightarrow a^{2n} < b^{2n} \]

اگر پایه‌ها منفی باشند، توان زوج جهت نامساوی را عوض می‌کند:

\[ a < b < 0 \Rightarrow a^{2n} > b^{2n} \]

اگر یکی از پایه‌ها منفی و دیگری مثبت باشد، توان زوج ممکن است جهت نامساوی را عوض بکند یا نکند. به‌عنوان مثال:

\begin{align*} -2<3 & \rightarrow (-2)^2<3^2\\ -3<2 & \rightarrow (-3)^2>2^2 \end{align*}