مفهوم عبارت جبری و اتحاد

عبارت جبری

«عبارت جبری» از یک یا چند متغیر و عدد تشکیل شده که بین آن‌ها اعمال جبری مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و ریشه‌گیری قرار دارد.

«یک‌جمله‌ای» عبارتی جبری است که پس از ساده‌شدن (در صورت امکان)، توان متغیرهایش اعداد حسابی باشند و بین متغیرها اعمال جمع، تفریق و تقسیم نباشد. اعداد نیز فقط در توان یا به‌صورت ضریب عددی حضور دارند. به‌عنوان نمونه، \( 3x^2 \) یک‌جمله‌ای یک‌متغیره و \( 4x^2y^3 \) یک‌جمله‌ای دومتغیره است.

در یک‌جمله‌ای‌ها، توان هر متغیر، «درجۀ یک‌جمله‌ای» نسبت به آن متغیر نامیده می‌شود. به‌عنوان نمونه، درجۀ \( 4x^2y^3 \) نسبت به \( x \) برابر 2 و نسبت به \( y \) برابر 3 است.

یک‌جمله‌ای‌هایی که تفاوت آن‌ها فقط در ضریب عددی‌شان است، «متشابه» نامیده می‌شوند. این‌ها متغیرهای یکسانی دارند و توان متغیرهایشان نیز مثل هم است. مانند \( 4x^2y^3 \) و \( 5x^2y^3 \).

اگر دو یا چند یک‌جمله‌ای غیرمتشابه را با هم جمع یا تفریق کنیم، یک «چندجمله‌ای» به‌دست می‌آید.
بزرگ‌ترین توان یک متغیر در یک چندجمله‌ای، «درجۀ چندجمله‌ای» نسبت به آن متغیر نامیده می‌شود.

اعداد مخالف صفر، یک‌جمله‌ای‌های درجه‌صفر محسوب می‌شوند.

چندجمله‌ای

چندجمله‌ای یک‌متغیرۀ درجۀ \( n \)، به فرم زیر است: \( (a \neq 0) \)

\[ ax^n+bx^{n-1}+\cdots+kx+1 \]

برای نمایش ضرایب عددی، می‌توان از متغیرهای اندیس‌دار استفاده کرد: \( (a_n \neq 0) \)

\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \]

فرم استاندارد برای نوشتن یک چندجمله‌ای، این است که برحسب توان‌های نزولی متغیرش نوشته شود. مثلاً فرم استاندارد \( 2x-x^2+x^3+1 \) به این شکل است: \( x^3-x^2+2x+1 \).
در چندجمله‌ای‌های چندمتغیره هم فرم استاندارد این است که برحسب توان‌های نزولی متغیرهایی نوشته شوند که بیشترین درجه را دارند. در عبارت \( a^2+b^2+2ab \) متغیرها هم‌درجه‌اند و فرم استاندارد، به‌صورت \( a^2+2ab+b^2 \) است.

اتحاد جبری

اتحاد جبری، تساوی بین دو عبارت جبری است که به‌ازای تمام مقادیری که دو عبارت به‌ازای آن‌ها تعریف‌شده‌اند، برقرار است.

\( (2+1)^2=9 \) یک «تساوی» است؛ \( (x+1)^2=9 \) یک «معادله» است که به‌ازای بعضی \( x \)ها برقرار است \( (x=-4,2) \). اما \( (x+1)^2=x^2+2x+1 \) یک «اتحاد» است و به‌ازای تمام \( x \)های حقیقی برقرار است.