دنباله‌های حسابی

معرفی دنبالۀ حسابی

دنبالۀ حسابی، دنباله‌‏ای است که در آن هر جمله (به‏‌جز جملۀ اول) از جمع جملۀ قبل از خودش با عددی ثابت به‌‏دست می‏آید. آن عدد ثابت را قدرنسبت دنباله می‏‌نامیم و در دنباله‌های حسابی معمولاً آن را با \( d \) نشان می‏‌دهیم.

\[ t_1 \xrightarrow{+d\;} t_2 \xrightarrow{+d\;} t_3 \xrightarrow{+d\;} \cdots \]

یک دنبالۀ حسابی با قدرنسبت 4 ببینید: «\( 3,7,11,15, \cdots \)».
این هم یک دنبالۀ حسابی با قدرنسبت \( -5 \): «\( 18,13,8,3, \cdots \)».
اما دنبالۀ «\( 2,6,18,54, \cdots \)» حسابی نیست.

فرم کلی جملات دنبالۀ حسابی

فرم کلی جملات دنباله‌های حسابی، به شکل زیر است:

\[ t_1 \;\, , \;\, t_1+d \;\, , \;\, t_1+2d \;\, , \;\, t_1+3d \;\, , \;\, \ldots \]

ضریب \( n \) در هر جمله، یکی کمتر از شمارۀ جمله است. مثلاً جملۀ دهم می‌شود \( t_1+9d \).

جملۀ عمومی دنبالۀ حسابی

جملۀ عمومی (\( n \)اُم) دنبالۀ حسابی، به‌صورت زیر است:

\[ t_n=t_1+(n-1) \, d \]

می‌خواهیم جملۀ عمومی دنبالۀ حسابی «\( -2,1,4,\cdots \)» را بنویسیم. خب جملۀ اول \( t_1=-2 \) و قدرنسبت \( d=3 \) است. پس جملۀ عمومی دنباله به این صورت است:

\begin{align*} t_n &=(-2)+(n-1)(3)\\ &=-2+3n-3\\ &=3n-5 \end{align*}

فرم بازگشتی دنبالۀ حسابی

فرم بازگشتی دنبالۀ حسابی با جملۀ اول \( a \) و قدرنسبت \( d \)، به‌صورت زیر است:

\[ t_1=a \quad , \quad t_{n+1}=t_n+d \]

جملۀ \( n \)اُم دنبالۀ «\( t_1=6\;,\;t_{n+1}=t_n-5 \)» را بیابید.

پاسخ

این یک دنبالۀ حسابی با جملۀ اول \( t_1=6 \) و قدرنسبت \( d=-5 \) است که به‌طور بازگشتی معرفی شده. جملۀ عمومی دنباله را ببینیم:

\begin{align*} t_n &=6+(n-1)(-5)\\ &=6-5n+5\\ &=-5n-1 \end{align*}

روند تغییرات جملات دنبالۀ حسابی

روند تغییرات جملات دنبالۀ حسابی، به قدرنسبت آن \( d \) بستگی دارد.

  • اگر \( d>0 \) آن‌گاه جملات دنباله افزایشی است.
  • اگر \( d<0 \) آن‌گاه جملات دنباله کاهشی است.
  • اگر \( d=0 \) آن‌گاه جملات دنباله با هم برابرند و دنباله ثابت نامیده می‌شود.

در این‌جا، «افزایشی» معادل «صعودی اکید» و هم‌چنین «کاهشی» معادل «نزولی اکید» است. با این مفاهیم در فصل «تابع» آشنا می‌شویم. ضمناً اگر جایی به دنباله‌ای اشاره شد که «هم صعودی و هم نزولی» باشد، منظور دنبالۀ «ثابت» است.

استراتژی‌های کلی در دنباله‌های حسابی

برای حل سؤالات مربوط به دنباله‌های حسابی، دو استراتژی کلی وجود دارد.

  • استراتژی اول: همه چیز را برحسب جملۀ اول دنباله \( t_1 \) و قدرنسبت \( d \) بنویسیم.
  • استراتژی دوم: جملۀ عمومی دنباله را تشکیل دهیم.

در یک دنبالۀ حسابی، مجموع جملات سوم و هفتم، 3 برابر جملۀ نهم است. جملۀ هفتم این دنباله را بیابید.

پاسخ

سؤال گفته \( t_3+t_7=3t_9 \). همه چیز را برحسب \( t_1 \) و \( d \) می‌نویسیم:

\begin{align*} (t_1+2d)+(t_1+6d) &=3(t_1+8d)\\ \Rightarrow 2t_1+8d &=3t_1+24d\\ \Rightarrow t_1+16d &=0\\ \xrightarrow{t_{17}=t_1+16d\;} t_{17}&=0 \end{align*}

دنبالۀ حسابی با جملۀ اول \( t_1=54 \) و قدرنسبت \( d=-0.3 \) چند جملۀ مثبت دارد؟

پاسخ

جملۀ عمومی دنباله را تشکیل می‌دهیم:

\begin{align*} t_n &=t_1+(n-1)d\\ &=54+(n-1)(-0.3)\\ &=54-0.3n+0.3\\ &=-0.3n+54.3 \end{align*}

دنبال جملات مثبت هستیم؛ یعنی می‌خواهیم \( t_n \) مثبت باشد:

\begin{align*} t_n>0 &\Rightarrow -0.3n+54.3>0 \\ &\Rightarrow 0.3n<54.3\\ &\Rightarrow n<\dfrac{54.3}{0.3}\\ &\Rightarrow n<\dfrac{543}{3}\\ &\xrightarrow{n \in \mathbb{N}\;} n=1,2,3,\ldots,180 \end{align*}

تعداد این‌ها 180تاست.