مجموعه‌های متناهی و نامتناهی

مجموعه‌های متناهی و نامتناهی

اگر تعداد عضوهای یک مجموعه برابر با عددی حسابی باشد، آن مجموعه «متناهی» و در غیر این صورت، «نامتناهی» است. در واقع، تعداد عضوهای یک مجموعۀ نامتناهی، از هر عدد طبیعی بزرگ‌تر است.
هم‌چنین اگر \( A \) مجموعه‌ای متناهی باشد، تعداد عضوهای آن را با \( n(A) \) نشان می‌دهیم.

تعداد عضوهای مجموعۀ تهی، برابر با عدد حسابیِ صفر است: \( n(\varnothing)=0 \)؛ بنابراین \( \varnothing \) متناهی است.

طبق تعریف، تمام بازه‌ها نامتناهی‌اند.

ممکن است تعداد عضوهای یک مجموعۀ متناهی خیلی زیاد باشد و نتوانیم آن را مشخص کنیم؛ مثل مجموعۀ درخت‌های جنگل‌های آمازون. این مسئله، مانع از متناهی‌بودن مجموعه نمی‌شود.

متناهی و نامتناهی در زیرمجموعه‌گی!

فرض کنیم \( A \subseteq B \). در این صورت:

  • اگر \( A \) نامتناهی باشد، آن‌گاه \( B \) نامتناهی است.
  • اگر \( B \) متناهی باشد، آن‌گاه \( A \) متناهی است.

مجموعه‌ای که حداقل یک زیرمجموعۀ نامتناهی دارد، نامتناهی است.

از متناهی‌بودن \( A \)، متناهی بودن \( B \) نتیجه نمی‌شود.
هم‌چنین از نامتناهی‌بودن \( B \)، نامتناهی‌بودن \( A \) نتیجه نمی‌شود.

عملیات روی مجموعه‌های نامتناهی

اجتماع دو مجموعۀ نامتناهی، حتماً نامتناهی است.
اما اشتراک یا تفاضل دو مجموعۀ نامتناهی، ممکن است متناهی یا نامتناهی باشد.

اشتراک «مجموعه اعداد اول» و «مجموعه اعداد طبیعی فرد»، می‌شود \( \{3,5,7,\ldots\} \) که نامتناهی است. اما اشتراک «مجموعه اعداد اول» و «مجموعه اعداد طبیعی زوج»، می‌شود \( \{2\} \) که متناهی است.
هم‌چنین مجموعۀ \( \mathbb{W}-\mathbb{N}=\{0\} \) متناهی و مجموعۀ \( \mathbb{Z}-\mathbb{N}=\{\ldots,-2,-1,0\} \) نامتناهی است.