عبارت‌های گویا

عبارت گویا

عبارت‌های گویا، کسرهایی هستند که صورت و مخرجشان چندجمله‌ای است.
کسرهای گویا، به‌ازای ریشه‌های مخرجشان تعریف‌نشده‌اند.

فرم کلی عبارت‌های گویا به شکل \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) است که \( P(x) \) و \( Q(x) \) چندجمله‌ای هستند؛ یعنی توان‌های \( x \) در آن‌ها حسابی است. دامنۀ تعریف این عبارت گویا، برابر است با:

\[ \mathbb{R}-\{x \mid Q(x)=0\} \]

چندجمله‌ای‌ها، کسرهایی با مخرج 1 محسوب می‌شوند و جزء عبارت‌های گویا هستند.

عبارت‌های زیر، گویا هستند:

\[ \frac{2x+1}{x-3} \;,\; \frac{3x-\sqrt{7}}{x^2} \;,\; \frac{x^3+2}{6x^2-5x+3} \]

اما عبارت‌های زیر، گویا نیستند:

\[ \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+2} \;,\; \frac{2^x-3}{x+3} \]

جمع و تفریق عبارت‌های گویا

  • گام 1: ک.م.م مخرج‌ها را حساب می‌کنیم و به‌عنوان مخرج مشترک در نظر می‌گیریم.
  • گام 2: مخرج مشترک را بر مخرج هر کسر تقسیم و حاصل را در صورت آن کسر ضرب کنیم.
  • گام 3: مخرج‌ها یکسان شده‌اند و کافی است صورت‌ها را جمع یا تفریق کنیم.

ک.م.م مخفف «کوچک‌ترین مضرب مشترک» است. وقتی دو عدد را تجزیه کردیم، ک.م.م آن‌ها می‌شود «حاصل‌ضرب عوامل مشترک و غیرمشترک با بزرگ‌ترین توانشان».

عبارت \( A=\dfrac{x+1}{x^4-x^3}-\dfrac{x+2}{x^3-2x^2+x} \) را ساده کنید.

پاسخ

مخرج‏‌ها را تجزیه می‌‏کنیم:

\begin{align*} x^4-x^3 &=x^3(x-1)\\ x^4-2x^3+x^2 &=x^2(x^2-2x+1)\\ &=x^2(x-1)^2 \end{align*}

عامل \( x \) توان‏‌های 3 و 2 دارد و \( x^3 \) را انتخاب می‏‌کنیم. عامل \( x-1 \) توان‏‌های 1 و 2 دارد و \( (x-1)^2 \) را انتخاب می‌‏کنیم. پس مخرج مشترک می‏‌شود \( x^3(x-1)^2 \).
مخرج مشترک را بر مخرج کسر اول تقسیم می‏‌کنیم: \( x-1 \) می‌‏مانَد؛ این را در صورت کسر اول ضرب می‌‏کنیم: \( (x+1)(x-1)={{x}^{2}}-1 \). مخرج مشترک را بر مخرج کسر دوم هم تقسیم می‌‏کنیم: \( x \) می‏‌مانَد؛ این را در صورت کسر دوم ضرب می‌‏کنیم: \( x(x+2)={{x}^{2}}+2x \). یعنی:

\begin{align*} A &=\frac{x+1}{x^4-x^3}-\frac{x+2}{x^4-2x^+x^2}\\ &=\frac{x+1}{x^3(x-1)}-\frac{x+2}{x^2(x-1)^2}\\ &=\frac{(x^2-1)-(x^2+2x)}{x^3(x-1)^2}\\ &=\frac{-2x-1}{x^3(x-1)^2}\\ \end{align*}

ضرب و تقسیم عبارت‌های گویا

ضرب: صورت کسرها در هم و مخرج کسرها نیز در هم ضرب می‌شوند.
تقسیم: کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنیم:

\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C}=\dfrac{AD}{BC} \]

واقعاً مثال لازم است؟!