دنبالۀ جملات مشترک
اگر دو دنبالۀ حسابی دارای جملات مشترک باشند، با دو گام زیر، جملۀ اول و قدرنسبت دنبالۀ حاصل از جملات مشترک را بهدست میآوریم:
- گام 1: جملات دو دنباله را تا جایی مینویسیم که اولین جملۀ مشترک خودش را نشان دهد.
- گام 2: ک.م.م قدرنسبتهای دو دنباله را حساب میکنیم. حاصل، قدرنسبت دنبالۀ جملات مشترک است.
ک.م.م مخفف «کوچکترین مضرب مشترک» است. وقتی دو عدد را تجزیه کردیم، ک.م.م آنها میشود «حاصلضرب عوامل مشترک و غیرمشترک با بزرگترین توانشان».
دهمین جملۀ مشترک دنبالههای حسابی «\( 2,17,32,\cdots \)» و «\( -10\,,-1\,,8\,,\cdots \)» را بیابید.
پاسخ
قدرنسبت دنبالۀ اول \( d_1=15 \) و قدرنسبت دنبالۀ دوم \( d_2=9 \) است. در دنبالۀ جملات مشترک باید به هر دو دنباله احترام گذاشت، پس قدرنسبت آن میشود ک.م.م قدرنسبتهای دو دنباله:
\[ 15=3\times 5\,\,,\,\,9=3^2 \]بنابراین ک.م.م قدرنسبتها برابر است با \( 3^2\times 5=45 \).
حالا اگر جملۀ چهارم دنبالۀ دوم را هم بنویسیم (\( t_4=8+9=17 \))، متوجه میشویم که اولین جملۀ مشترک دو دنباله، 17 است. پس در دنبالۀ جملات مشترک، \( t_1=17 \) و \( d=45 \). حالا:
\begin{align*} t_{11} &=t_1+10d\\ &=17+10\,(45)\\ &=467 \end{align*}