دنباله‌های هندسی

معرفی دنبالۀ هندسی

دنبالۀ هندسی، دنباله‌‏ای است که در آن هر جمله (به‌‏جز جملۀ اول) از ضرب جملۀ قبل از خودش در عددی ثابت به‏‌دست می‌‏آید. آن عدد ثابت را قدرنسبت دنباله می‏‌نامیم و در دنباله‌های هندسی معمولاً آن را با \( r \) یا \( q \) نشان می‌‏دهیم.

\[ t_1 \xrightarrow{\times r\;} t_2 \xrightarrow{\times r\;} t_3 \xrightarrow{\times r\;} \cdots \]

یک دنبالۀ هندسی با قدرنسبت 3 ببینید: «\( 2,6,18,54, \cdots \)»
این هم یک دنبالۀ هندسی با قدرنسبت \( -2 \): «\( 7,-14,28,-56, \cdots \)».
اما دنبالۀ «\( 5,10,15,20, \cdots \)» هندسی نیست.

فرم کلی جملات دنبالۀ هندسی

فرم کلی جملات دنباله‌های هندسی، به شکل زیر است: \( (t_1,r \neq 0) \)

\[ t_1 \;\, , \;\, t_1r \;\, , \;\, t_1r^2 \;\, , \;\, t_1r^3 \;\, , \;\, \ldots \]

در دنباله‌های هندسی، جملۀ اول و قدرنسبت نباید صفر باشند.

جملۀ عمومی دنبالۀ هندسی

جملۀ عمومی (\( n \)اُم) دنبالۀ هندسی، به‌صورت زیر است:

\[ t_n=t_1 \cdot r^{n-1} \]

جملۀ عمومی دنبالۀ هندسی «\( 4,-12,36,-108,\cdots \)» را بنویسید.

پاسخ

خب جملۀ اول \( t_1=4 \) و قدرنسبت \( d=-3 \) است. پس جملۀ عمومی دنباله به این صورت است:

\begin{align*} t_n &=4 \times (-3)^{n-1}\\ &=4(-3)^{n-1} \end{align*}

فرم بازگشتی دنبالۀ هندسی

فرم بازگشتی دنبالۀ هندسی با جملۀ اول \( a \) و قدرنسبت \( r \) به‌صورت زیر است:

\[ t_1=a \quad , \quad t_{n+1}=t_n \cdot r \]

جملۀ \( n \)اُم دنبالۀ «\( t_1=8\;,\;t_{n+1}=2t_n \)» را بیابید.

پاسخ

این یک دنبالۀ حسابی با جملۀ اول \( t_1=8 \) و قدرنسبت \( d=2 \) است که به‌طور بازگشتی معرفی شده. جملۀ عمومی دنباله را ببینیم:

\begin{align*} t_n &=8 \times 2^{n-1}\\ &=2^3 \times 2^{n-1}\\ &=2^{3+n-1}\\ &=2^{n+2} \end{align*}

روند تغییرات جملات دنبالۀ هندسی

روند تغییرات جملات دنبالۀ هندسی (افزایشی، کاهشی یا ثابت)، به علامت جملۀ اول \( t_1 \) و حدود قدرنسبت آن \( r \) بستگی دارد.

بدون آن‌که چیزی را حفظ کنید، حالت‌های مربوط به \( r>0 \) را به همراه نمونه ببینید.

\( t_1>0 \) و \( r>1 \): دنباله افزایشی. مثل \( 3,6,12, \ldots \) که در آن \( r=2 \).
\( t_1>0 \) و \( 0 < r < 1 \): دنباله کاهشی. مثل \( 12,6,3, \ldots \) که در آن \( r= \frac {1}{2} \).
\( t_1<0 \) و \( r>1 \): دنباله کاهشی. مثل \( -3,-6,-12, \ldots \) که در آن \( r=2 \).
\( t_1<0 \) و \( 0 < r < 1 \): دنباله افزایشی. مثل \( -12,-6,-3, \ldots \) که در آن \( r= \frac {1}{2} \).
\( r=1 \): دنباله ثابت. مثل \( 3,3,3, \ldots \) که در آن \( r=1 \).

دقت کنید که اگر \( r<0 \) باشد، آن‌گاه جملات دنباله یکی در میان مثبت و منفی می‌شوند و دنباله هرگز افزایشی یا کاهشی نخواهد بود.

استراتژی‌های کلی در دنباله‌های هندسی

برای حل سؤالات مربوط به دنباله‌های هندسی، دو استراتژی کلی وجود دارد.

استراتژی اول: همه چیز را برحسب جملۀ اول دنباله \( t_1 \) و قدرنسبت \( r \) بنویسیم.
استراتژی دوم: جملۀ عمومی دنباله را تشکیل دهیم.

در یک دنبالۀ هندسی، حاصل‏ضرب جملات پنجم و هفتم برابر با جملۀ دوازدهم است. قدرنسبت دنباله چند برابر جملۀ اول آن است؟

پاسخ

سؤال گفته: \( t_5 \cdot t_7=t_{12} \). همه چیز را برحسب \( t_1 \) و \( r \) می‌‏نویسیم:

\begin{align*} &(t_1 r^4)(t_1 r^6)=(t_1 r^{11})\\ &\Rightarrow {t_1}^2 r^{10}=t_1 r^{11}\\ &\Rightarrow t_1=r \end{align*}

قدرنسبت و جملۀ اول با هم مساوی‌‏اند.

چندمین جمله از دنبالۀ هندسی \( 2,2\sqrt{3},6,\cdots \) برابر با 486 است؟

پاسخ

جملۀ اول دنباله \( t_1=2 \) و قدرنسبت آن \( r=\sqrt{3} \) است. جملۀ عمومی دنباله را می‌‏نویسیم:

\begin{align*} t_n &=t_1 \cdot r^{n-1}\\ &=2 \times (\sqrt{3})^{n-1} \end{align*}

می‏‌خواهیم \( t_n=486 \) باشد:

\begin{align*} &2\times (\sqrt{3})^{n-1}=486\\ &\Rightarrow (\sqrt{3})^{n-1}=243 \end{align*}

از طرفی، \( 243=3^5=(\sqrt{3})^{10} \). یعنی رابطۀ اخیر، این‌‏شکلی می‌‏شود:

\begin{align*} &(\sqrt{3})^{n-1}=(\sqrt{3})^{10}\\ &\Rightarrow n-1=10 \\ &\Rightarrow n=11 \end{align*}