دنبالۀ درجهدوم
جملۀ عمومی دنبالههای درجهدوم، بهصورت \( t_n=an^2+bn+c \) است. \( (a \neq 0) \)
نمودار توابع درجهدوم به شکل سهمی است و نمودار دنبالههای درجهدوم، نقاطی از سهمیها میباشند.
بهعنوان نمونه، جدول مختصات چند نقطه از نمودار مربوط به دنبالۀ \( t_n = \dfrac{1}{4}n^2-3 \) را ببینید:
و این هم نمودارش:
ویژگیهای مهم دنبالۀ درجهدوم
در دنبالههای درجهدوم، میتوانید این سه چیز (یا لااقل دوتای اول) را بلد باشید:
دنبالۀ درجهدوم \(4,9,18,31,48,\ldots\) را در نظر بگیرید و شکل زیر را ببینید:
به مقدار ثابت 4 رسیدیم که نصف آن میشود 2؛ این، ضریب \( n^2 \) در جملۀ عمومی دنباله \( (t_n=an^2+bn+c) \) است: \( a=2 \)؛ پس میگوییم \( t_n=2n^2+bn+c \).
ادامۀ حل (روش اول)
با کمک دو جمله از دنباله، مقادیر \( b \) و \( c \) را پیدا میکنیم:
\begin{align*} t_1=4 &\Rightarrow 2(1)^2+b(1)+c=4\\ &\Rightarrow b+c=2\\ t_2=9 &\Rightarrow 2(2)^2+b(2)+c=9\\ &\Rightarrow 2b+c=1\\ &\Rightarrow b+(b+c)=1\\ &\xrightarrow{b+c=2 } b+2=1\\ &\Rightarrow b=-1 \end{align*}در ادامۀ حل دستگاه، به \( c=2-b=2-(-1)=3 \) میرسیم و در نتیجه جملۀ عمومی دنباله بهصورت زیر است:
\[ t_n=2n^2-n+3 \]ادامۀ حل (روش دوم)
بعد از پیداکردن \( a \) و رسیدن به \( t_n=2n^2+bn+c \)،
با افزودن یک جمله به ابتدای دنباله، سعی میکنیم به \( c \) برسیم:
بنابراین \( c=t_0=3 \) و درنتیجه \( t_n=2n^2+bn+3 \). حالا به کمک یک جمله از دنباله، \( b \) را پیدا میکنیم:
\begin{align*} t_1=4 &\Rightarrow 2(1)^2+b(1)+3=4\\ &\Rightarrow b=-1 \end{align*}به همان نتیجۀ \( t_n=2n^2-n+3 \) رسیدیم!