توانهای صحیح
توان طبیعی: \( (a \in \mathbb{R}\,,\,n \in \mathbb{N}) \)
توان صفر: \( (a \neq 0) \)
توان صحیح و منفی: \( (a \neq 0 \,,\,n \in \mathbb{N}) \)
توانهای گویا
با شرط \( a>0 \)، برای عدد گویا و مثبت \( r=\dfrac{m}{n} \)، میگوییم:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \]خواص توان
برای هر \( a,b \in \mathbb{R}^+ \) و \( r,s \in \mathbb{R} \) میگوییم:
\begin{align*} a^{-r} &=\dfrac{1}{a^r}\\ (ab)^r &=a^rb^r\\ (\dfrac{a}{b})^r &=\dfrac{a^r}{b^r}\\ a^r\times a^s &=a^{r+s}\\ \dfrac{a^r}{a^s} &=a^{r-s}\\ (a^r)^s &=a^{rs}\\ \end{align*}شرط تعریف توانهای گویا و گنگ
توانهای گویای غیرصحیح و توانهای گنگ، برای پایههای نامثبت تعریف نمیشوند.
یعنی اگر \( r \in \mathbb{Q}-\mathbb{Z} \) یا \( r \in \mathbb{Q}’ \)، آنگاه عبارت \( a^r \) زمانی تعریفشده است که \( a>0 \) باشد.