تعریف ریشه

ریشۀ مرتبۀ n

هرگاه \( b^n=a \) باشد، عدد \( b \) را «ریشۀ \( n \)اُمِ» عدد \( a \) می‌نامیم.

ریشه‌گیری، عکس عمل به‌توان‌رساندن است! ریشۀ \( n \)اُم را «ریشۀ مرتبۀ \( n \)» نیز می‌نامند.

در این تعریف، فرض شده \( n \) عددی طبیعی و بزرگ‌تر از 1 و اعداد \( a \) و \( b \) حقیقی باشند.

\( 4^3=64 \)، پس می‌گوییم 4 ریشۀ سوم 64 است.
هم‌چنین \( 8^2=64 \) و \( (-8)^2=64 \)، پس می‌گوییم 8 و \( -8 \) ریشه‌های دوم 64 هستند.

ریشه‌های مرتبۀ فرد

هر عدد حقیقی، از هر مرتبۀ فرد (سوم، پنجم، …) یک ریشه دارد و آن ریشه با خود عدد هم‌علامت است.

\[ b^n=a \;,\; \text{n is odd} \Rightarrow b=\sqrt[n]{a} \]

در عبارت \( \sqrt[n]{a} \)، \( n \) «فُرجه» نامیده می‌شود و این عبارت را می‌خوانیم «ریشۀ \( n \)اُم \( a \)» یا «فرجۀ اِنِ \( a \)»!

«کَعب» یعنی «ریشۀ سوم» و «مکعب» یعنی توان سوم! به‌عنوان مثال، کعب 8 می‌شود \( \sqrt[3]{8}=2 \) و مکعب 8 می‌شود \( 8^3=512 \).

ریشه‌های مرتبۀ زوج

  • اعداد منفی، ریشه‌های مرتبۀ زوج (دوم، چهارم، …) ندارند.
  • عدد صفر، از هر ریشۀ مرتبۀ زوج یا فرد، دقیقاً یک ریشه دارد و آن، خود صفر است.
  • هر عدد حقیقی مثبت، از هر مرتبۀ زوج، دو ریشه دارد و آن ریشه‌ها قرینۀ یکدیگر هستند.
\[ b^n=a \;,\;\text{n is even} \Rightarrow b=\pm\sqrt[n]{a} \]

فُرجۀ 2 را نمی‌نویسیم و آن را با \( \sqrt{\phantom{a}} \) نشان می‌دهیم. هم‌چنین \( \sqrt{a} \) را می‌خوانیم «رادیکال \( a \)»!

جذر» با «ریشۀ دوم» یکی نیست. جذرِ یک عدد مثبت، ریشۀ دوم و مثبت آن عدد است. مثلاً 25 دو ریشۀ دوم دارد: 5 و \( -5 \). اما جذر 25، فقط برابر 5 است: \( \sqrt{25}=5 \).

«جذر» یعنی ریشۀ دومِ نامنفی و «مجذور» یا «مربع» یعنی توان دوم! به‌عنوان مثال، جذر 4 می‌شود 2 و مجذور 4 می‌شود 16.

جذرهای معروف

این سه مقدار تقریبی را بلد باشید:

\begin{align*} \sqrt{2} &\simeq 1.41\\ \sqrt{3} &\simeq 1.73\\ \sqrt{5} &\simeq 2.23 \end{align*}

در واقع:

\begin{align*} \sqrt{2} &\simeq 1.414213\cdots\\ \sqrt{3} &\simeq 1.732050\cdots\\ \sqrt{5} &\simeq 2.237067\cdots \end{align*}