تجزیۀ عبارت‌های جبری

تجزیه، مضرب، شمارنده

تجزیۀ یک عبارت یا چندجمله‌ای، یعنی این‌که آن را به‌صورت حاصل‌ضرب عبارت‌ها یا چندجمله‌‌ای‌های دیگر بنویسیم.
در این صورت، عبارت اولیه می‌شود مضرب و هر یک از عبارت‌های حاصل در تجزیه، می‌شوند «عامل ضربی» یا شمارنده. معمولاً تجزیه را تا جایی ادامه می‌دهیم که عوامل حاصل، قابل تجزیه نباشند.

\( x^2-25=(x-5)(x+5) \)، پس:
\( x^2-25 \) مضرب \( x-5 \) و \( x+5 \) است؛ هم‌چنین \( x-5 \) و \( x+5 \) عوامل یا شمارنده‌های \( x^2-25 \) هستند.

تجزیه با تکنیک فاکتورگیری ساده

در یک عبارت که جملات با هم جمع یا تفریق شده‌اند، اگر در شکل تجزیه‌شدۀ جملات، عامل مشترک ببینیم، با فاکتورگرفتن از آن عامل، عبارت اولیه تجزیه می‌شود.

فاکتورگیری مخصوص جمع و تفریق است، نه ضرب!

عبارت \( x^2 y^3+x^3 y^4-2x^2 y^5 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

از \( x^2 y^3 \) فاکتور می‏گیریم:

\[ x^2 y^3+x^3 y^4-2x^2 y^5=x^2 y^3(1+xy-2y^2) \]

تجزیه با تکنیک دسته‌بندی جملات و فاکتورگیری دوبل

در بعضی عبارت‌ها، دو یا چند جمله یک عامل مشترک دارند و بقیۀ جملات عامل مشترک دیگری. شگفتی در این است که بعد از فاکتورگیری‌های جداگانه، ممکن است عامل مشترک جدیدی ببینیم و رستگار شویم!

عبارت \( A=x^3-3x^2+2x-6 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

در دو جملۀ اول از \( x \) و در دو جملۀ بعدی از 2 فاکتور می‏گیریم:

\begin{align*} A &=(x^3-3x^2)+(2x-6)\\ &=x^2(x-3)+2(x-3) \end{align*}

حالا از \( x-3 \) فاکتور می‏گیریم:

\[ A=(x-3)(x^2+2) \]

تجزیه با تکنیک شکستن جملات

در بعضی عبارت‌های جبری، شکستن ضریب یک جمله، باعث می‌شود عامل مشترک خودش را نشان دهد.

عبارت \( 2{{x}^{2}}-x-6 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

جملۀ وسط را می‌شکنیم و به‌‏جای \( -x \) می‏‌نویسیم \( -4x+3x \):

\[ 2{{x}^{2}}-x-6 =2{{x}^{2}}-4x+3x-6 \]

در دو جملۀ اول از \( 2x \) و در دو جملۀ بعدی از 3 فاکتور می‌‏گیریم:

\[ 2x(x-2)+3(x-2) \]

و حالا از \( x-2 \) فاکتور می‏‌گیریم:

\[ (x-2)(2x+3) \]

تجزیه با تکنیک اضافه و کم کردن یک جمله

در بعضی عبارت‌های جبری، اضافه‌کردن خلاقانۀ یک جمله و سپس کم‌کردن آن، عوامل مشترک می‌سازد و موتور فاکتورگیری را راه می‌اندازد!

عبارت \( x^5-1 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

یک‌‏عالمه جمله اضافه و کم می‌‏کنیم (تمام توان‏‌هایی که نداشتیم):

\[ x^5-1=(x^5-x^4)+(x^4-x^3)+(x^3-x^2)+(x^2-x)+(x-1) \]

و حالا از \( x-1 \) فاکتور می‏گیریم:

\[ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \]

حالا در هر دسته، از بزرگ‏ترین توان فاکتور می‏گیریم:

\[ x^5-1=x^4(x-1)+x^3(x-1)+x^2(x-1)+x(x-1)+(x-1) \]

تجزیه به کمک اتحادها

هر کدام از اتحادهای گفته‌شده را اگر از سمت راست تساوی به سمت چپ تساوی بخوانید، یک الگوی تجزیه به شما ارائه می‌کند! اتحادهای جمله‌مشترک، مزدوج و چاق و لاغر بیشترین کاربرد را در تجزیه دارند. هم‌چنین ممکن است دو یا چند اتحاد با هم یا با سایر تکنیک‌های تجزیه به کار گرفته شوند.

عبارت \( x^3-4x+3 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

اگر به‌‏جای \( x^3 \)، \( x^2 \) داشتیم، می‏‌گفتیم \( x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \). خب حالا خودمان \( x^2 \) را کم و اضافه می‌‏کنیم:

\[ x^3-x^2+x^2-4x+3 \]

حالا دسته‏‌بندی جملات:

\[ (x^3-x^2)+(x^2-4x+3) \]

در پرانتز اول از \( x^2 \) فاکتور می‏‌گیریم و در پرانتز دوم جمله‌مشترک:

\[ x^2(x-1)+(x-1)(x-3) \]

\( x-1 \) دارد چشمک می‏‌زند که از آن فاکتور بگیریم:

\[ (x-1)(x^2+x-3) \]

برخی الگوهای رایج در تجزیه به کمک اتحادها

  • تفاضل دو عبارت با توان‌های زوج: اتحاد مزدوج
  • جمع یا تفاضل دو عبارت با توان 3 یا مضربی از 3: اتحاد چاق و لاغر
  • تفاضل دو عبارت با توان 6 یا مضرب 6: اتحادهای مزدوج و چاق و لاغر

عبارت \( A=x^4-1 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

مزدوج بزنیم:

\[ A=(x^2-1)(x^2+1) \]

پرانتز دوم دیگر تجزیه نمی‌‏شود ولی پرانتز اول هنوز دلش مزدوج می‌‏خواهد:

\[ A=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]

عبارت \( B=x^3+8 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

خوراکش چاق و لاغر است:

\begin{align*} B &=x^3+8\\ &=x^3+2^3\\ &=(x+2)(x^2-2x+4) \end{align*}

عبارت \( C=x^6-1 \) را تجزیه کنید.

پاسخ

مزدوج:

\begin{align*} C &=x^6-1\\ &=(x^3)^2-1^2\\ &=(x^3-1)(x^3+1) \end{align*}

و حالا هر کدام از پرانتزها چاق و لاغر می‏‌خواهد:

\[ C=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1) \]

اگر اول چاق و لاغر می‏‌زدیم بعد مزدوج، چه می‌‏شد؟ بفرمایید این اولش:

\begin{align*} C &=x^6-1\\ &=(x^2)^3-1^3\\ &=(x^2-1)(x^4+x^2+1) \end{align*}

در مورد پرانتز دوم، می‌‏توانیم بنویسیم:

\begin{align*} x^4+x^2+1 &=(x^4+2x^2+1)-x^2\\ &=(x^2+1)^2-x^2\\ &=(x^2+1-x)(x^2+1+x) \end{align*}

نتیجه همان است:

\begin{align*} C &=x^6-1\\ &=(x^2-1)(x^4+x^2+1)\\ &=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1) \end{align*}