الگوهای عددی و هندسی

الگو

الگو، ساختاری منظم از شکل‌ها، عددها، نمادها و … است. به یک الگوی هندسی، می‌توانیم الگویی عددی نظیر کنیم و گاه برای یک الگوی عددی، می‌توانیم الگویی هندسی پیدا کنیم

در الگوی هندسی زیر، تعداد مربع‌های کوچک در هر شکل، ما را به الگوی عددی \( 1,4,9,16,\ldots \) می‌رساند.

هم‌چنین اگر از ابتدا الگوی عددی \( 1,4,9,16,\ldots \) را داشتیم، می‌توانستیم برای آن، الگوی هندسی بالا را رسم کنیم.

دنباله

هر تعداد عدد که پشت سر هم قرار می‌گیرند، تشکیل یک دنباله می‌دهند.
آن اعداد نیز «جملات دنباله» نامیده می‌شوند.
جملات دنباله را با متغیرهای «اندیس‌دار» نشان می‌دهند.
در واقع برای هر عدد طبیعی \( n \)، جملۀ \( n \)اُم دنباله با \( t_n \) نمایش داده می‌شود.
بنابراین نمایش کلی یک دنباله، به صورت \( t_1,t_2,t_3,\ldots \) است.

به‌جای \( t \)، از سایر حروف کوچک انگلیسی نیز می‌توان استفاده کرد؛ مثلاً:

\[ a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots \]

در واقع یک دنباله، مقادیری را به اعداد طبیعی (اندیس یا شمارۀ جملات) نظیر می‌کند؛ پس تابعی است که دامنۀ آن مجموعه اعداد طبیعی می‌باشد:

\[ \begin{cases} f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\\ f(n)=t_n \end{cases} \]

دامنۀ دنباله، می‌تواند زیرمجموعه‌ای از \( \mathbb{N} \) باشد. حتی می‌توان دامنۀ دنباله را به \( \mathbb{Z} \) یا زیرمجموعه‌ای از آن، تعمیم داد و مثلاً \( t_0 \) را مشخص کرد!

جملۀ عمومی دنباله

اگر جملات یک دنباله دارای نظم و الگوی مشخصی باشند، می‌توانیم جملۀ \( n \)اُم دنباله را به‌صورت عبارتی برحسب \( n \) بیان کنیم. به این می‌گویند جملۀ عمومی دنباله!

می‌توان گفت که جملۀ عمومی دنبالۀ \( 1,4,9,16,\ldots \) به‌صورت \( t_n = n^2 \) است.