بهدلیل تقارن نمودارهای هر تابعِ وارونپذیر و تابع وارونش نسبت به نیمساز ناحیۀ اول و سوم، این گمانِ نادرست پیش میآید که نقاط تلاقی این دو نمودار حتماً روی این نیمساز قرار دارند. ضمن رد این ادعا، شرایط لازم را برای درستی آن بررسی و اثبات میکنیم.
بررسی ادعاهای نادرست
یک ادعای نادرست: نمودارهای \( f \) و \( f^{-1} \) در صورت وجود و تلاقی، روی خط \( y=x \) همدیگر را قطع میکنند.
تابع \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) با ضابطۀ \( f(x)=x^3 \) و وارون \( f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} \) این ادعا را نقض میکند و البته مثالهای نقض دیگری نیز وجود دارد.
یک ادعای نادرست دیگر: نمودارهای \( f \) و \( f^{-1} \) در صورت وجود و تلاقی، روی خط \( y=x \) یا \( y=-x \) همدیگر را قطع میکنند.
تابع \( f: \mathbb{R} – \{0\} \rightarrow \mathbb{R} – \{0\} \) با ضابطۀ \( f(x)=\dfrac{1}{x} \) و وارون \( f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x} \) این ادعا را نقض میکند (تابع و وارونش بیشمار نقطۀ تلاقی خارج از خطوط مذکور دارند)؛ البته مثالهای نقض دیگری نیز وجود دارد.
ادعای درست
اگر تابع \( f \) صعودی اکید باشد، نمودارهای \( f \) و \( f^{-1} \) در صورت تلاقی، روی خط \( y=x \) همدیگر را قطع میکنند.
درواقع، با اضافهشدن شرط «صعودی اکید»، دیگر برای پیداکردن نقاط تلاقی تابع با وارونش نیازی به محاسبۀ ضابطۀ تابع وارون نیست و میتوان بهجای معادلۀ \( f(x)=f^{-1}(x) \)، معادلۀ \( f(x)=x \) را حل نمود. اگر \( f \) صعودی اکید نباشد، راهی جز پیداکردن ضابطۀ تابع وارون و حل معادلۀ \( f(x)=f^{-1}(x) \) نیست.
اثبات ادعا
فرض: تابع \( f \) صعودی اکید است.
حکم: اگر \( (a,b) \) نقطۀ تلاقی نمودارهای \( f \) و \( f^{-1} \) باشد، آنگاه \( a=b \).
اثبات (برهان خلف). فرض خلف: \( a \neq b \). در این صورت، \( a<b \) یا \( a>b \). حالت \( a<b \) را بررسی میکنیم و حالت \( a>b \) بهطور مشابه بررسی میشود.
اگر \( f \) صعودی اکید باشد، طبق تعریف تابع صعودی اکید، میتوانیم بگوییم:
از طرفی
\begin{equation}\label{2} (a,b) \in f \Rightarrow f(a)=b \end{equation}و
\begin{equation}\label{3} (a,b) \in f^{-1} \Rightarrow f^{-1}(a)=b \xrightarrow{*} f(b)=a \end{equation}(* تعریف تابع وارون)
حالا طبق (1) باید بگوییم \( f(a)<f(b) \) و این حرف طبق \eqref{2} و \eqref{3} بهصورت \( b<a \) در میآید که با فرض \( a<b \) در تناقض است. با بررسی حالت دیگر \( (b<a) \) متوجه میشویم که فرض خلف غلط است و حکم ثابت میشود.