دنبالههای درجهدوم با مجموع جملات ابتداییِ دنبالههای حسابی، ارتباط دارند. در این نوشته، تا جای ممکن مو را از ماست بیرون میکشیم. این موشکافی به ما کمک میکند تا با دنبالههای درجهدوم راحتتر کنار بیاییم!
دنبالۀ تفاضلهای جملات متوالیِ یک دنبالۀ درجهدوم
در حالت کلی، جملۀ عمومی یک دنبالۀ درجهدوم، با فرض \( a \neq 0 \) بهصورت زیر است:
\begin{equation}\label{tn} t_n=an^2+bn+c \end{equation}بیایید تفاضل دو جملۀ دلخواه و متوالی از دنباله را در حالت کلی بیابیم:
\begin{align*} t_n-t_{n-1} &= (an^2+bn+c)-\big( a(n-1)^2+b(n-1)+c \big)\\ &=a \big(n^2-(n-1)^2\big)+b(n-(n-1))+(c-c)\\ &=(2a)n+(b-a) \end{align*}حاصل، عبارتی خطی (درجهاول) برحسب \( n \) شد. از طرفی، میدانیم که:
جملۀ عمومی هر دنبالۀ حسابی غیرثابت، عبارتی خطی (درجهاول) برحسب \( n \) میباشد (فرم کلی \( a_n=An+B \)) و برعکس.
بنابراین میتوانیم بگوییم که:
در هر دنبالۀ درجهدوم، اختلاف جملات متوالی، یک دنبالۀ حسابی تشکیل میدهند.
به عنوان نمونه، اختلاف جملات متوالیِ دنبالۀ \( 11,21,35,53,\ldots \) دنبالۀ حسابی \( 10,14,18,\ldots \) را میسازند.
سخن بالا را به این شکل نیز میتوان بیان کرد:
در هر دنبالۀ درجهدوم، اختلافِ اختلافِ جملات متوالی، مقداری ثابت است (همان قدرنسبت دنبالۀ حسابی مربوطه).
ارتباط دنبالههای درجهدوم با مجموع جملات ابتداییِ دنبالههای حسابی
حاصلجمع \( n \) جملۀ اول از هر دنبالۀ حسابی با جملۀ اول \( a_1 \) و قدرنسبت \( d \)، بهصورت زیر است:
\begin{equation}\label{sn} S_n=\frac{n}{2} \Big( 2a_1+(n-1)d \Big) \end{equation}که اگر آن را به شکل استاندارد (برحسب توانهای نزولی \( n \)) بنویسیم، نتیجۀ زیر بهدست میآید:
\begin{equation}\label{snStandard} S_n=\frac{d}{2}n^2+\left( a_1-\frac{d}{2} \right)\!n \end{equation}با مقایسۀ \eqref{tn} و \eqref{snStandard} میتوانیم بگوییم که:
وجه تشابه \( S_n \) مربوط به دنبالۀ حسابی و \( t_n \) مربوط به دنبالۀ درجهدوم این است که هر دو عبارتهای درجهدوم هستند! اما اختلاف آنها در این است که \( S_n \) جملۀ ثابت و درجهصفری مانند \( c \) را ندارد.
پس ما در اقدامی جسورانه، \eqref{tn} را به شکل زیر مینویسیم:
حالا مقایسۀ \eqref{snStandard} و \eqref{tn-c} به ما میگوید که فرم کلی \( S_n \) و \( t_n-c \) کاملاً شبیه هم هستند. در واقع:
مجموع \( n \) جملۀ اول در هر دنبالۀ حسابی، معادل جملۀ عمومی یک دنبالۀ درجهدوم است که مقداری ثابت \( (c) \)
از آن کم شده.
به این ترتیب، به هر \( S_n \) از دنبالهای حسابی (درجهاول، خطی)، میتوان یک \( t_n \) از دنبالهای درجهدوم نظیر کرد! یا به عبارتی دیگر، هر \( t_n \) از دنبالهای درجهدوم با یک \( S_n \) از دنبالهای حسابی در ارتباط است!
مثالی برای درک بهتر مطلب
برای درک بهتر مطلب، یک مثال مطرح میکنیم. دنبالۀ حسابی \( 6,10,14,18,\ldots \) را در نظر بگیرید که جملۀ اول آن \( a_1=6 \) و قدرنسبت آن \( d=4 \) است. در این دنباله، مجموع یک جملۀ اول، مجموع دو جملۀ اول، مجموع سه جملۀ اول و … به شرح زیر است:
\begin{align*} S_1 &=a_1=6\\ S_2 &=a_1+a_2=6+10=16\\ S_3 &=a_1+a_2+a_3=6+10+14=30\\ S_4 &=a_1+a_2+a_3+a_4=6+10+14+18=48\\ \vdots \end{align*}یعنی دنبالۀ \( S_n \)های مربوط به این دنباله، بهصورت \( 6,16,30,48,\ldots \) میباشد. این یک دنبالۀ درجهدوم است و جملۀ عمومی آن طبق \eqref{snStandard} بهصورت زیر میباشد:
\[S_n =\frac{d}{2}n^2+\left( a_1-\frac{d}{2} \right)\!n \xrightarrow{a_1=6,\,d=4\,} S_n=2n^2+4n\]حالا دنبالۀ درجهدوم \( 11,21,35,53,\ldots \) را در نظر بگیرید. اگر از تمام جملات، \( 5 \) واحد کم کنیم، به دنبالۀ \( 6,16,30,48,\ldots \) میرسیم که همین حالا جملۀ عمومی آن را به دست آوردیم \( (S_n=2n^2+4n) \).
پس میتوانیم بگوییم جملۀ عمومی دنبالۀ \( 11,21,35,53,\ldots \) بهصورت \( t_n=S_n+5=2n^2+4n+5 \) است. اما این \( 5 \)ی که از جملات کم کردیم، از کجا آمد؟ در این باره، در ادامه صحبت خواهیم کرد!
چگونه با داشتن سه جمله از یک دنبالۀ درجهدوم، جملۀ عمومی آن را پیدا کنیم؟
جملۀ عمومی دنباله را بهصورت \( t_n=an^2+bn+c \) در نظر میگیریم. هدف، پیداکردن مقادیر \( a,b,c \) است که برای آن، دو روش ارائه میکنیم. البته روش دوم را در سه مسیر جداگانه ارائه مینماییم تا خواننده خود مسیر دلخواهش را انتخاب نماید. در مجموع، پیشنهاد ما مسیر دوم از روش دوم است! در اینجا، صرفاً به بیان این دو روش میپردازیم و در ادامه، پس از ارائۀ مثالی برای درک دو روش، اثبات و توضیحات جامعی برای روش دوم مطرح مینماییم.
روش اول: با استفاده از سه جملۀ دنباله، یک دستگاه سه معادله سه مجهول تشکیل میدهیم. با حل دستگاه، مقادیر \( a,b,c \) به دست میآیند و تمام!
روش دوم، مسیر اول: گفتیم که اختلاف جملات دنبالۀ درجهدوم، دنبالهای حسابی تشکیل میدهند. حالا میگوییم که ضریب \( n^2 \) نصف قدرنسبت دنبالۀ حسابی است:
با معلومشدن مقدار \( a \)، در ادامه با استفاده از دو جملۀ دنباله، یک دستگاه دو معادله دو مجهول تشکیل میدهیم. با حل دستگاه، مقادیر \( b \) و \( c \) هم پیدا میشود و تمام!
روش دوم، مسیر دوم: از همان نکتۀ مسیر اول استفاده میکنیم که میگوید \( a=\frac{d}{2} \)؛ سپس برای پیداکردن \( c \)، یک جمله به ابتدای دنباله اضافه میکنیم. بدینصورت که با توجه به نظم دنباله، میگوییم اگر یک جمله قبل از جملۀ اول قرار میداشت، آن جمله چه میبود!
جملۀ حاصل را میتوانیم \( t_0 \) بنامیم و برابر با مقدار \( c \) است.
حالا که دوتا از ضرایب موجود در جملۀ عمومی پیدا شدند، برای پیداکردن \( b \)، به سراغ یکی از جملات دنباله میرویم. مثلاً با استفاده از مقدار \( t_1 \)، میتوانیم مقدار \( b \) را پیدا کنیم.
روش دوم، مسیر سوم: مانند آنچه در مسیر دوم عمل کردیم، یک جمله قبل از جملۀ اول دنباله را پیدا میکنیم \( (t_0) \)
و میگوییم:
حل یک مثال به چهار شکل مختلف
میخواهیم جملۀ عمومی دنبالۀ درجهدوم \( 11,21,35,\ldots \)را بیابیم.
روش اول: جملۀ عمومی دنباله را بهصورت \( t_n=an^2+bn+c \) در نظر میگیریم و مینویسیم:
حالا دستگاه سه معادله سه مجهول حاصل را حل میکنیم:
\begin{align} \eqref{d21} – \eqref{d11} &\Rightarrow 3a+b=10 \label{d10}\\ \eqref{d35} – \eqref{d21} &\Rightarrow 5a+b=14 \label{d14} \end{align}و ادامۀ کار:
\begin{align*} \eqref{d14} – \eqref{d10} &\Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2 \\ \eqref{d10} &\Rightarrow 3(2)+b=10 \Rightarrow b=4 \\ \eqref{d11} &\Rightarrow 2+4+c=11 \Rightarrow c=5 \end{align*}بنابراین جملۀ عمومی دنباله، به صورت زیر است:
\[ t_n=an^2+bn+c=2n^2+4n+5 \]روش دوم، مسیر اول: اختلاف جملات، دنبالۀ حسابی زیر را میسازند که قدرنسبت آن \( 4 \) است:
\[ 10,14,\ldots\]نصف این قدرنسبت، ضریب \( n^2 \) در جملۀ عمومی دنباله است:
\[t_n=an^2+bn+c \xrightarrow{a=2\,} t_n=2n^2+bn+c\]حالا مینویسیم:
\begin{align} t_1=11 &\Rightarrow 2(1)^2+b(1)+c=11 \Rightarrow b+c=9 \label{d09}\\ t_2=21 &\Rightarrow 2(2)^2+b(2)+c=21 \Rightarrow 2b+c=13 \label{d13} \end{align}دستگاه دو معادله دو مجهول حاصل را حل میکنیم:
\begin{align*} \eqref{d13} – \eqref{d09} &\Rightarrow b=4\\ \eqref{d09} &\Rightarrow 4+c=9 \Rightarrow c=5 \end{align*}و باز همان نتیجۀ \( t_n=2n^2+4n+5 \) به دست میآید!
روش دوم، مسیر دوم: در دنبالۀ حسابی، یک جمله به عقب برمیگردیم:
و حالا در دنبالۀ درجهدوم، یک جمله به عقب برمیگردیم:
\[ t_1=11\;,\;a_0=6 \Rightarrow t_0=t_1-a_0=11-6=5 \Rightarrow c=5 \]تا اینجا، جملۀ عمومی دنبالۀ درجهدوم، اینشکلی است:
\[ t_n=an^2+bn+c=2n^2+bn+5 \]حالا مینویسیم:
\[ t_1=11 \Rightarrow2a(1)^2+b(1)+5=11 \Rightarrow b=4 \]و باز \( t_n=2n^2+4n+5 \) !
روش دوم، مسیر سوم: در مسیر دوم، به \( a=\frac{d}{2}=2 \) و \( c=t_0=5 \) رسیدیم. در ادامه، برای پیداکردن \( b \)، مینویسیم:
بنابراین \( t_n=2n^2+4n+5 \) و تمام!
اثبات، توجیه و تفسیر ادعاهای صورتگرفته
در نمودار زیر، \( t_i \)ها جملات دنبالۀ درجهدوم با جملۀ عمومی \( t_n=an^2+bn+c \) هستند. اختلاف جملات متوالیِ این دنباله، \( a_i \)ها را میسازد که دنبالهای حسابی با قدرنسبت \( d \) تشکیل میدهند.
حاصلجمع جملات دنبالۀ حسابی، بهصورت زیر برحسب جملات دنبالۀ درجهدوم بیان میشود:
\begin{align} S_{n-1} &=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} \nonumber \\ &=(t_2-t_1)+(t_3-t_2)+\cdots+(t_n-t_{n-1}) \nonumber\\ &=t_n-t_1 \label{tnt1} \end{align}بنابراین:
\begin{equation}\label{tnsn-1} t_n=S_{n-1}+t_1 \end{equation}از طرفی، با درنظرگرفتن فرمول کلی \eqref{sn}، داریم:
\begin{align} S_{n-1} &=\frac{n-1}{2} \Big( 2(t_2-t_1)+(n-2)d\Big) \nonumber\\ &=n(t_2-t_1)-(t_2-t_1)+\frac{n^2-3n+2}{2}\,d \nonumber\\ &=n(t_2-t_1)-(t_2-t_1)+\frac{d}{2}n^2-\frac{3d}{2}n+d \nonumber\\ &=\frac{d}{2}n^2+(t_2-t_1-\frac{3d}{2})n+(t_1-t_2+d) \label{sn-1} \end{align}بنابراین با توجه به \eqref{tnsn-1}، مینویسیم:
\begin{equation}\label{tnOne} t_n=\frac{d}{2}n^2+(t_2-t_1-\frac{3d}{2})n+(2t_1-t_2+d) \end{equation}به کمک این رابطه میتوان جملۀ عمومی یک دنبالۀ درجهدوم را پیدا کرد. اما ظاهر این رابطه، دلچسب نیست! بر اساس ایدهای که جلوتر در مورد آن توضیح میدهیم، سعی میکنیم بهجای آنکه از \( t_1 \) و \( t_2 \) استفاده کنیم، از \( t_0 \)
و \( t_1 \) استفاده نماییم. اما \( t_0 \) چیست؟
\( t_0 \) جملهای است که با تعمیم دنباله، خودمان به ابتدای دنبالۀ درجهدوم اضافه مینماییم. در این مورد نیز صحبت خواهیم کرد. با درنظرگرفتن شکل زیر، روابط قبلی را بازنویسی میکنیم:
مشابه \eqref{tnt1} بهدست میآید:
\begin{equation} \label{sntn} S_n=t_n-t_0 \end{equation}حالا با درنظرگرفتن فرمول کلی \eqref{sn} و مشابه آنچه برای رسیدن به \eqref{sn-1} عمل کردیم، مینویسیم:
\begin{align*} S_n=t_n-t_0 &=\frac{n}{2} \Big( 2(t_1-t_0)+(n-1)d \Big)\\ &=n(t_1-t_0)+\frac{n(n-1)}{2}d\\ &=\frac{d}{2}n^2+(t_1-t_0-\frac{d}{2})n \end{align*}و بالأخره با توجه به \eqref{sntn} کار تمام میشود:
\begin{equation}\label{tnTwo} t_n=\frac{d}{2}n^2+(t_1-t_0-\frac{d}{2})n+t_0 \end{equation}مفهوم تعمیم دنباله
یک دنباله، تابعی است که دامنۀ آن \( \mathbb{N} \) یا زیرمجموعهای از \( \mathbb{N} \) است. مثلاً تابع
\[ \begin{cases} f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(n)=2n-1 \end{cases} \]دنبالۀ با جملۀ عمومی \( a_n=2n-1 \) را مشخص میکند. در بحث دنبالهها، بهجای نماد \( f(n) \) از نماد \( a_n \) یا \( t_n \) یا مشابه آن استفاده میکنیم.
ما میتوانیم دامنۀ تابع مربوط به یک دنباله را به \( \mathbb{Z} \) یا زیرمجموعهای از آن گسترش دهیم و این با مفهوم دنباله منافاتی ندارد.
در بحث اخیر، هنگام اضافهکردن جملۀ \( t_0 \) به ابتدای دنبالۀ درجهدوم، در واقع دامنۀ دنباله به \( \mathbb{W} \)
تعمیم داده شده است. علت این کار هم این است که در نمودار توابع، \( f(0) \) (معادل \( t_0 \) در نمایش دنبالۀ درجهدوم) عرض از مبدأ (عرض نقطۀ تلاقی با محور \( y \)ها) را مشخص میکند که نسبت به بسیاری از نقاط دیگر ملموستر است. در دنبالۀ \( f(n)=t_n=an^2+bn+c \) داریم: \( f(0)=t_0=c \) و این ایده به ما کمک کرد تا رابطۀ \eqref{tnOne} را بهصورت \eqref{tnTwo} بازنویسی کنیم.