گویاکردن مخرج کسرها

گویاکردن مخرج با رادیکالِ تنها

وقتی در مخرج یک کسر فقط یک رادیکال وجود دارد، صورت و مخرج را در رادیکالی با همان فُرجه ضرب می‌کنیم؛ فقط به‌جای توانِ عبارت زیر رادیکال، تفاضل فرجه و توان موجود را قرار می‌دهیم.

منظور، این است:

\[ \dfrac{1}{\sqrt[m]{\circledast^n}} =\dfrac{1}{\sqrt[m]{\circledast^n}} \times \dfrac{\sqrt[m]{\circledast^{m-n}}}{\sqrt[m]{\circledast^{m-n}}} =\dfrac{\sqrt[m]{\circledast^{m-n}}}{\circledast} \]

مخرج کسر \( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x y^2}} \) را گویا کنید.

پاسخ

صورت و مخرج را در

\[ \sqrt[3]{x^{3-1}y^{3-2}}=\sqrt[3]{x^2 y} \]

ضرب می‏‌کنیم:

\begin{align*} \frac{x}{\sqrt[3]{x y^2}}\times \frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{\sqrt[3]{x^2 y}} &=\frac{x\sqrt[3]{x^2 y}}{\sqrt[3]{x^3 y^3}}\\ &=\frac{x\sqrt[3]{x^2 y}}{xy}\\ &=\frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{y} \end{align*}

معکوس

وقتی حاصل‌ضرب دو عدد برابر 1 می‌شود، آن دو معکوس یکدیگرند. چند نمونۀ مهم ببینید:

\begin{align*} \sqrt{a} \quad &\xrightarrow{\text{reverse }} \quad \dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}\\ 2-\sqrt{3} \quad &\xrightarrow{\text{reverse }} \quad 2+\sqrt{3}\\[1.5mm] \sqrt{5}-2 \quad &\xrightarrow{\text{reverse }} \quad \sqrt{5}+2 \end{align*}

حاصل عبارت \( \dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} \) را بیابید.

پاسخ

معکوس \( \sqrt{6}+\sqrt{5} \) می‌شود \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) و معکوس \( \sqrt{7}+\sqrt{6} \) می‌شود \( \sqrt{7}-\sqrt{6} \). اگر شک دارید، این‌جا را ببینید:

\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} &=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}\\ &=\sqrt{6}-\sqrt{5}\\ \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} &=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}\\ &=\sqrt{7}-\sqrt{6} \end{align*}

به هر حال حاصل‌‏جمع این دو، می‏شود:

\[ (\sqrt{6}-\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-\sqrt{5} \]

گویاکردن مخرج با رادیکال‌های تو در تو

اگر در مخرج کسر، رادیکال زیر رادیکال داشتیم، دو روش برای گویاکردن داریم:

روش اول: از بیرونی‌ترین رادیکال شروع و رادیکال‌ها را یکی‌یکی گویا می‌کنیم.
روش دوم: با خواص رادیکال‌ها، مخرج را به شکل یک رادیکال درمی‌آوریم و کسر حاصل را گویا می‌کنیم.

مخرج کسر \( \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \) را گویا کنید.

روش اول

صورت و مخرج را در \( \sqrt{2\sqrt{2}} \) ضرب می‏کنیم:

\[ \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}}\times \frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{2}}} =\frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \]

حالا صورت و مخرج را در \( \sqrt{2} \) ضرب می‏کنیم:

\begin{align*} \frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &=\frac{\sqrt{2\sqrt{2}\times 2}}{2\times 2}\\ &=\frac{2\sqrt{\sqrt{2}}}{4}\\ &=\frac{\sqrt[4]{2}}{2} \end{align*}

روش دوم

مخرج را تک‏‌رادیکالی می‏کنیم:

\[ \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} =\frac{1}{\sqrt{\sqrt{4\times 2}}} =\frac{1}{\sqrt[4]{2^3}} \]

حالا صورت و مخرج را در \( \sqrt[4]{2} \) ضرب می‏کنیم:

\[ \frac{1}{\sqrt[4]{{{2}^{3}}}} \times \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}} =\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^4}} =\frac{\sqrt[4]{2}}{2} \]

گویاکردن مخرج با اتحاد مزدوج رادیکالی

\( \sqrt{a}-\sqrt{b} \) و \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \) مزدوج یکدیگرند؛ یکی را در مخرج دیدید، صورت و مخرج را در مزدوجش ضرب کنید. این هم شکل رادیکالِ اتحاد مزدوج:

\[ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b \]

کجاها از اتحاد مزدوجِ رادیکالی یاد کنیم؟ جاهایی که دو رادیکال با فرجه‌های برابر و زوج می‌بینیم که با یکدیگر جمع یا تفریق شده‌اند؛ یا یک رادیکالیِ فرجه‌زوج و یک عدد!

مخرج کسر \( \dfrac{6}{3+\sqrt{7}} \) را گویا کنید.

پاسخ

صورت و مخرج را در مزدوج مخرج یعنی \( 3-\sqrt{7} \) ضرب می‏کنیم:

\begin{align*} \frac{6}{3+\sqrt{7}} \times \frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} &=\frac{6(3-\sqrt{7})}{9-7}\\ &=3(3-\sqrt{7}) \end{align*}

مخرج کسر \( \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \) را گویا کنید.

پاسخ

صورت و مخرج را در مزدوج مخرج یعنی \( \sqrt{5}-\sqrt{3} \) ضرب می‏کنیم:

\begin{align*} \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} &=\frac{{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}}{5-3}\\ &=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}\\ &=4-\sqrt{15} \end{align*}

گویاکردن مخرج با اتحاد چاق و لاغر رادیکالی

می‌خواهیم از شکل رادیکالیِ اتحاد چاق و لاغر، رونمایی کنیم! اگر در مخرج یک کسر، قسمت لاغر (چاق) را دیدید، صورت و مخرج را در قسمت چاق (لاغر) ضرب کنید تا مخرج گویا و همه چیز روبه‌راه شود.

\begin{align*} &(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a+b\\ &(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b \end{align*}

با توجه به اتحاد چاق و لاغر رادیکالی، جدول زیر را تنظیم کرده‌ایم. چیزی برای حفظ‌کردن وجود ندارد!

مخرجِ گویاشده	عبارتی که صورت و مخرج باید در آن ضرب شوند	چیزی که در مخرج می‌بینیم
\( a+b \)	\( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b} \)	\( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \)
\( a-b \)	\( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b} \)	\( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \)
\( a+b \)	\( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \)	\( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b} \)
\( a-b \)	\( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \)	\( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b} \)

کجاها از اتحاد چاق و لاغرِ رادیکالی یاد کنیم؟ جاهایی که فرجه‌هایی برابر 3 یا مضربی از 3 می‌بینیم!

مخرج کسر \( \dfrac{x}{\sqrt[3]{x}+2} \) را گویا کنید.

پاسخ

صورت و مخرج کسر را در \( \sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4 \) ضرب می‏کنیم:

\[ \frac{x}{\sqrt[3]{x}+2}\times \frac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4} =\frac{x(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{x+2} \]

مخرج کسر \( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1} \) را گویا کنید.

پاسخ

صورت و مخرج کسر را در قسمت لاغر یعنی \( \sqrt[3]{x}+1 \) ضرب می‏کنیم:

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}\times \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \]

گویاکردن مخرج با رادیکالِ تنها

معکوس

گویاکردن مخرج با رادیکال‌های تو در تو

گویاکردن مخرج با اتحاد مزدوج رادیکالی

گویاکردن مخرج با اتحاد چاق و لاغر رادیکالی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ