اتحادهای معروف

اتحاد مربع دوجمله‌ای

اتحادهای مربع جمع و تفاضل دو جمله:

\begin{align*} (a+b)^2 &=a^2+b^2+2ab\\ (a-b)^2 &=a^2+b^2-2ab \end{align*}

از اتحادهای مربع دوجمله‌ای، مجموع مربعات دو جمله را بلد باشید:

\begin{align*} a^2+b^2 &=(a+b^2)-2ab\\ &=(a-b)^2+2ab \end{align*}

با جمع یا تفریق طرفین تساوی در دو اتحاد مربوط به مربع دوجمله‌ای، به‌دست می‌آید:

\begin{align*} (a+b)^2+(a-b)^2 &=2a^2+2b^2\\ (a+b)^2-(a-b)^2 &=4ab \end{align*}

اتحاد دوم، از قراردادن \( -b \) به‌جای \( b \) در اتحاد اول به‌دست آمده است.

تکنیک به‌توان 2 رساندن

وقتی از بین «جمع، تفریق، ضرب» دو عدد یا عبارت، دوتا معلوم است و سومی را می‌خواهیم، به‌توان 2 رساندن معلوم‌ و مجهول، تکنیک خوبی است!

اگر \( x-\dfrac{1}{x}=3 \) باشد، \( x+\dfrac{1}{x} \) را بیابید.

پاسخ

دو طرف رابطه را به توان 2 می‏رسانیم:

\begin{align*} x-\frac{1}{x}=3 &\Rightarrow (x-\frac{1}{x})^2=9\\ &\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}-2\underbrace{x\cdot \frac{1}{x}}_{1}=9\\ &\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=9+2=11\\ \end{align*}

حالا با فرض \( A=x+\dfrac{1}{x} \)، ابتدا توان دوم و سپس خود \(A \) را حساب می‏کنیم:

\begin{align*} A^2 &=(x+\frac{1}{x})^2\\ &=x^2+\frac{1}{x^2}+2\\ &=11+2\\ &=13 \end{align*}

بنابراین \( A=\sqrt{13} \).

اتحاد مربع سه‌جمله‌ای

اتحاد مربع مجموع سه جمله:

\[ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \]

به‌عنوان نمونه، برای رسیدن به \( (a-b-c)^2 \)، باید به‌جای \( b \) قرار دهیم \( -b \) و به‌جای \( c \) قرار دهیم \( -c \):

\begin{align*} (a+(-b)+(-c))^2 &=a^2+(-b)^2+(-c)^2+2a(-b)+2a(-c)+2(-b)(-c)\\ (a-b-c)^2 &=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc \end{align*}

اتحاد مزدوج

عبارت‌های \( a-b \) و \( a+b \) مزدوج یکدیگر نامیده می‌شوند و ازدواج آن‌ها، این‌شکلی است:

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]

عبارت \( A=(x-1)(x+1)(x^2+1)+1 \) را ساده کنید.

پاسخ

دو بار مزدوج می‏زنیم:

\begin{align*} A &=\underbrace{(x-1)(x+1)}_{x^2-1}(x^2+1)+1\\ &=\underbrace{(x^2-1)(x^2+1)}_{(x^2)^2-1^2}+1\\ &=(x^4-1)+1\\ &=x^4 \end{align*}

اتحاد جمله‌مشترک

در اتحاد زیر، \( x \) جملۀ مشترک است:

\[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \]

در این مثال، جملۀ مشترک برابر \( x=3m \) است:

\begin{align*} A &=(3m+7)(3m-5)\\ &=(3m)^2+(7-5)(3m)+(7)(-5)\\ &=9m^2+6m-35 \end{align*}

اتحاد مکعب دوجمله‌ای

هر کدام از اتحادهای مکعب مجموع و تفاضل دو جمله را به دو شکل در ذهن داشته باشید:

\begin{align*} (a+b)^3 &=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\ &=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ (a-b)^3 &=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2\\ &=a^3-b^3-3ab(a-b) \end{align*}

نتایج زیر به راحتی از اتحادهای بالا به دست می‌‏آیند و صدالبته حفظی نیستند!

\begin{align*} &a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\\ &a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b) \end{align*}

عبارت \( A=(3x-2)^3-36x+8 \) را ساده کنید.

پاسخ

در اتحاد مکعب مجموع دوجمله‏‌ای، قرار می‏‌دهیم \( a=3x \) و \( b=-2 \):

\begin{align*} (3x-2)^3 &=(3x)^3+(-2)^3+3(3x)^2(-2)+3(3x)(-2)^2+(-2)^3\\ &=27x^3-54x^2+36x-8 \end{align*}

می‌توانستیم در اتحاد مکعب تفاضل دوجمله‏‌ای، قرار دهیم \( a=3x \) و \( b=2 \). به هر حال، حاصل عبارت موردنظر، می‌‏شود:

\begin{align*} A &=(27x^3-54x^2+36x-8)-36x+8\\ &=27x^3-54x^2 \end{align*}

اگر \( a+b=4 \) و \( ab=5 \) باشد، حاصل عبارت \( a^3+b^3 \) را بیابید.

پاسخ

خب می‏نویسیم:

\[ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=4^3-3(5)(4)=64-60=4 \]

اتحاد چاق و لاغر

اتحادهای چاق و لاغر یا فیل و فنجان:

\begin{align*} (a+b)(a^2-ab+b^2) &=a^3+b^3\\ (a-b)(a^2+ab+b^2) &=a^3-b^3 \end{align*}

قسمت کوچک‌تر یعنی \( a \pm b \) را «لاغر» و قسمت بزرگ‌تر یعنی \( a^2 \mp ab + b^2 \) را «چاق» می‌نامیم.

دلتای قسمت «چاق» منفی است و این عامل دیگر تجزیه نمی‌شود.

با فرض فردبودن \( n \)، تعمیم اتحاد چاق و لاغر، این‌شکلی است:

\begin{align*} a^n+b^n &=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\cdots-b^{n-1})\\ a^n-b^n &=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1}) \end{align*}

در حالت خاص «\( a=x\,,\,b=1 \)»، داریم:

\begin{align*} x^n+1 &=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-\cdots-1)\\ x^n-1 &=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots+1) \end{align*}

حاصل عبارت \( (\sqrt[3]{2}+2)(\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}+4) \) را به‏‌دست آورید.

پاسخ

با اتحاد چاق و لاغر مواجه هستیم که در آن \( a=\sqrt[3]{2} \) و \( b=2 \). حاصل این عبارت، می‏شود:

\[ (\sqrt[3]{2})^3-2^3=2-8=-6 \]

عبارت \( A=\dfrac{x^3-1}{x-1}-x \) را ساده کنید.

پاسخ

صورت کسر را با اتحاد چاق و لاغر، تجزیه می‏کنیم:

\begin{align*} A &=\frac{x^3-1}{x-1}-x\\ &=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}-x\\ &=(x^2+x+1)-x=x^2+1 \end{align*}