خواص رادیکال‌ها

ضرب و تقسیم رادیکال‌های با فرجۀ یکسان

رادیکال‌های دارای فرجۀ یکسان را می‌توان در هم ضرب یا بر هم تقسیم کرد:

\begin{align*} \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} &=\sqrt[n]{ab}\\ \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} &=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \end{align*}

رادیکال‌ها را زمانی می‌توان با هم جمع یا تفریق کرد که هم فرجه‌هایشان مثل هم باشد هم عبارت زیرشان؛ یعنی کلاً یک چیز باشند! به‌عنوان مثال:

\begin{align*} 4\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{5}-2\sqrt[3]{5} &=(4+1-2)\sqrt[3]{5}\\ &=3\sqrt[3]{3} \end{align*}

اگر \( n \) زوج باشد، \( a \) و \( b \) باید نامنفی باشند. هم‌چنین در رابطۀ مربوط به تقسیم، شرط \( b \neq 0 \) لازم است.

این روابط، برای جمع و تفریق برقرار نیستند و در حالت کلی:

\[ \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a \pm b} \]

ضرب و تقسیم رادیکال‌ها با فرجه‌های مختلف، روش اول

برای ضرب و تقسیم رادیکال‌هایی که فرجه‌هایشان یکسان نیست، می‌توانیم مراحل زیر را طی کنیم:

  • گام 1: به کمک تعریف توان گویا یعنی \( \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} \)، همه چیز را به‌ شکل اعداد توان‌دار بنویسیم.
  • گام 2: با استفاده از خواص توان، حاصل عبارت موردنظر را به‌دست بیاوریم.
  • گام 3: در صورت نیاز، به کمک همان تعریف توان گویا، حاصل را به‌صورت رادیکالی دربیاوریم.

برای محاسبۀ \( \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \)، می‌نویسیم:

\begin{align*} \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} &=2^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{3}}\\ &=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}\\ &=2^\frac{5}{6}\\ &=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32} \end{align*}

ضرب و تقسیم رادیکال‌ها با فرجه‌های مختلف، روش دوم

برای ضرب و تقسیم رادیکال‌هایی که فرجه‌هایشان یکسان نیست، می‌توانیم مراحل زیر را طی کنیم:

  • گام 1: ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک) فرجه‌ها را حساب کنیم و به‌عنوان فرجۀ مشترک انتخاب کنیم.
  • گام 2: فرجۀ مشترک را بر هر کدام از فرجه‌ها تقسیم و حاصل را در توان عبارت زیر رادیکال ضرب ‌کنیم.
  • گام 3: فرجۀ رادیکال‌ها یکسان شده‌اند و عملیات موردنظر را در زیر رادیکال‌ها انجام می‌دهیم.

برای \( \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \)، در گام 1 می‌گوییم فرجه‌ها 2 و 3 هستند و فرجۀ مشترک می‌شود ک.م.م آن‌ها یعنی 6. حالا:

\begin{align*} \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} &=\sqrt[6]{2^{(6 \div 2)}} \times \sqrt[6]{2^{(6 \div 3)}}\\ &=\sqrt[6]{2^3} \times \sqrt[6]{2^2}\\ &=\sqrt[6]{2^3 \times 2^2}\\ &=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32} \end{align*}

بیرون آمدن عدد از زیر رادیکال

وقتی عدد زیر یک رادیکال را تجزیه می‌کنیم، برای عواملی که توانشان با فرجۀ رادیکال برابر یا از آن بزرگ‌تر است، دو حالت پیش می‌آید:

  • حالت اول، توان بر فرجه بخش‌پذیر باشد:
    دراین صورت، عامل از زیر رادیکال بیرون می‌آید و توان جدید آن خارج قسمت تقسیم توان بر فرجه است!
  • حالت دوم، توان بر فرجه بخش‌پذیر نباشد:
    با تفکیک توان، عامل را به‌صورت ضرب دو عدد می‌نویسیم که در یکی از آن‌ها توان بر فرجه بخش‌پذیر است.

برای حالت اول، این نمونه‌ها‌ را ببینید:

\begin{align*} \sqrt{3^6 \times 5^2 \times 6^8} &=3^2 \times 5 \times 6^4\\ \sqrt[3]{2^9 \times 5^6} &=2^3 \times 5^2 \end{align*}

برای حالت دوم، این نمونه‌ها را ببینید:

\begin{align*} \sqrt{5^7} &=\sqrt{5^6 \times 5}\\ &=5^3\sqrt{5}\\ \sqrt[3]{2^{11} \times 3^4} &=\sqrt{(2^9 \times 2^2)(3^3 \times 3)}\\ &=(2^3 \times 3)\sqrt[3]{2^2 \times 3}\\ &=24\sqrt[3]{12} \end{align*}

رفتن به زیر رادیکال

اگر بخواهیم عدد یا عبارتی را زیر یک رادیکال ببریم، باید آن را به توانِ فرجۀ رادیکال برسانیم. ضمن این‌که علامت منفی، بیرون رادیکالِ دارای فرجۀ زوج باقی می‌ماند!

در مورد اعداد \( a=-2\sqrt[3]{4} \) و \( b=-2\sqrt[4]{3} \) می‌توانیم بنویسیم:

\begin{align*} a &=\sqrt[4]{(-2)^3 \times 4}=\sqrt[3]{-32}\\ b &=-\sqrt[4]{2^4 \times 3}=-\sqrt[4]{48} \end{align*}

قانون ضرب فرجه‌ها

فرجه‌های زیر هم، در هم ضرب می‌شوند: (فرض شده عبارت‌ها تعریف شده‌اند.)

\begin{align*} \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &=\sqrt[mn]{a}\\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}} &=\sqrt[mnk]{a}\\ \vdots \end{align*}

برای محاسبۀ \( \sqrt{3\sqrt[3]{2}} \)، می‌نویسیم:

\begin{align*} \sqrt{3\sqrt[3]{2}}&=\sqrt{\sqrt[3]{3^3\times 2}}\\ &=\sqrt{\sqrt[3]{54}}\\ &=\sqrt[2\times 3]{54}\\ &=\sqrt[6]{54} \end{align*}

ساده‌کردن فرجۀ فرد با توان فرد

  • فرجۀ فرد و توان فرد، بدون هیچ محدودیتی می‌توانند با هم ساده شوند.
  • می‌توان فرجه و توان را تجزیه و عوامل فرد آن‌ها را با خیال راحت ساده کرد.

ساده‌کردن کل فرجۀ فرد با توان فرد زیر یا بیرون رادیکال:

\begin{align*} \sqrt[3]{x^3} &=x\\ (\sqrt[3]{x})^3 &=x\\ \sqrt[3]{x^6}=\sqrt[3]{(x^2)^3} &=x^2 \end{align*}

ساده‌کردن عامل فرد در فرجه و توان زیر یا بیرون رادیکال:

\begin{align*} \sqrt[6]{x^3} &=\sqrt[2\times 3]{x^3}=\sqrt{x}\\ (\sqrt[9]{x})^6 &=(\sqrt[3 \times 3]{x})^{2\times 3}=(\sqrt[3]{x})^2 \end{align*}

ساده‌کردن فرجۀ زوج با توان زوج

هر جا خواستید توان زوجِ زیر رادیکال را با فرجۀ زوج ساده کنید، حاصل را درون قدرمطلق بگذارید!

\begin{align*} \sqrt{x^2} &=|x|\\ \sqrt[2n]{u^{2n}} &=|u| \quad (n \in \mathbb{N}) \end{align*}

این هشدار را خیلی جدی بگیرید و البته دقت کنید که برای توان زوجِ بیرون رادیکال، قدرمطلق لازم نیست:

\[ (\sqrt{x})^2=x \]

دقت کنید که در عبارت \( \sqrt{x^2} \)، \( x \) می‌تواند منفی باشد اما حاصل رادیکالِ فرجه‌زوج نمی‌تواند منفی باشد. این در حالی است که در عبارت \( (\sqrt{x})^2 \)، \( x \) از ابتدا نمی‌تواند منفی باشد!

اگر توان زوج زیر رادیکال به‌طور کامل با فرجه ساده نشود و بعد از ساده‌کردن ناقص، توان زیر رادیکال فرد بشود، باز باید از قدرمطلق استفاده کنید. به‌عنوان مثال:

\begin{align*} \sqrt[12]{x^6} &=\sqrt{|x|}\\ \sqrt[6]{x^2} &=\sqrt[3]{|x|} \end{align*}

کجاها قدرمطلق بگذاریم؟

در خواص مربوط به رادیکال‌ها، کجاها برای حاصل، قدرمطلق بگذاریم و کجاها نگذاریم؟
خب قدرمطلق، دو چیز را در عبارت اولیه و حاصل آن تنظیم و هماهنگ می‌کند:

  • علامت عبارت زیر رادیکال
  • علامت حاصل (خروجی) رادیکال

آیا عبارت \( \sqrt{a^2 b^6}=\,|a|b^3 \) در حالت کلی درست است؟

پاسخ

درست نیست. اگر \( b<0 \) باشد، دچار مشکل می‌‏شویم. سمت راست تساوی، باید به‌‏شکل \( |a b^3| \) باشد.

آیا عبارت \( a \sqrt{a^2 b^4}=\sqrt{a^4 b^2} \) در حالت کلی درست است؟

پاسخ

درست نیست. اگر \( a<0 \) باشد، دچار مشکل می‏‌شویم. سمت چپ تساوی، باید به‌‏شکل \( |a| \sqrt{a^2 b^4} \) باشد.

یک فرم خاص

بعضی وقت‌ها در فرم \( \sqrt{a \pm \sqrt{b}} \)، عبارت زیر رادیکال، مربع کامل است و ما باید به کمک اتحاد مربع دوجمله‌ای آن را تشخیص دهیم. در واقع باید \( x^2 \pm 2xy + y^2=(x \pm y)^2 \) را به کار گیریم.

عبارت \( \sqrt{3-2\sqrt{2}} \) را ساده کنید.

پاسخ

دنبال دو عدد می‌گردیم که جمع خودشان یا مربعشان 3 و ضربشان 2 شود؛ خب 1 و 2. حالا می‌نویسیم:

\begin{align*} \sqrt{3 – 2\sqrt{2}} &= \sqrt{(\sqrt{1} – \sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{(1 – \sqrt{2})^2} \\ &= \left| 1 – \sqrt{2} \,\right| \\ &= \sqrt{2} – 1 \end{align*}

قانون رادیکال مرکب

این فرمول، زیاد به دردتان نمی‌خورد:

\begin{align*} \sqrt{a \pm \sqrt{b}} &=\sqrt{\dfrac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a-c}{2}}\\ c &=\sqrt{a^2-b} \end{align*}

عبارت \( \sqrt{13-4\sqrt{3}} \) را ساده کنید.

پاسخ

برای استفاده از فرمول رادیکال مرکب، رادیکالِ درونی نباید ضریب داشته باشد:

\[ 4\sqrt{3}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{48} \]

پس \( a=13 \) و \( b=48 \). در نتیجه:

\begin{align*} c &=\sqrt{a^2-b}\\ &=\sqrt{169-48}\\ &=\sqrt{121}\\ &=11 \end{align*}

و داریم:

\begin{align*} \sqrt{13-4\sqrt{3}} &=\sqrt{\frac{13+11}{2}}-\sqrt{\frac{13-11}{2}}\\ &=\sqrt{12}-\sqrt{1}\\ &=2\sqrt{3}-1 \end{align*}