مقایسۀ ریشه‌ها

حفظ نکنید! با مثال درک کنید.

پایه بزرگ‌تر از 1: فرجه بزرگ‌تر، حاصل کوچک‌تر

\[ a>1 \Rightarrow \sqrt{a} > \sqrt[3]{a} > \sqrt[4]{a} > \cdots \]

پایه بین صفر و 1: فرجه بزرگ‌تر، حاصل بزرگ‌تر

\[ 0 < a < 1 \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt[3]{a} < \sqrt[4]{a} < \cdots \]

پایه بین \( -1 \) و صفر: فرجه فرد و بزرگ‌تر، حاصل کوچک‌تر

\[ -1 < a < 0 \Rightarrow \sqrt[3]{a} > \sqrt[5]{a} > \sqrt[7]{a} > \cdots \]

پایه کوچک‌تر از \( -1 \): فرجه فرد و بزرگ‌تر، حاصل بزرگ‌تر

\[ a<-1 \Rightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[5]{a} <\sqrt[7]{a} > \cdots \]

به‌عنوان نمونه، نمایش ریشه‌های دوم و سوم عدد 2 را ببینید. محور بالایی مربوط به خود عدد و محور پایینی مربوط به ریشه‌های آن است.

نمایش ریشه‌های دوم و سوم عدد \( 0.25 \) را نیز ببینید. محور بالایی مربوط به خود عدد و محور پایینی مربوط به ریشه‌های آن است.

مقایسۀ عدد و ریشه‌ها با صفر و یک

اگر عدد مثبتی بزرگ‌تر از 1 یا بین صفر و 1 باشد، ریشه‌های آن نیز همین‌گونه خواهند بود:

\begin{align*} a>1 &\Rightarrow \sqrt[n]{a}>1 \\ 0 < a < 1 &\Rightarrow 0 < \sqrt[n]{a} < 1 \end{align*}

برای اعداد منفی، فرجه‌ها باید فرد باشد و وضعیت مشابهی برقرار است:

\begin{align*} a<-1 &\Rightarrow \sqrt[n]{a}<-1 \\ -1 < a < 0 &\Rightarrow -1 < \sqrt[n]{a} < 0 \end{align*}

برای نمونه، نمایش ریشۀ سوم اعداد \( \pm 0.8 \) و \( \pm 1.728 \) را ببینید. محور بالایی مربوط به خود اعداد و محور پایینی مربوط به ریشۀ سوم آن‌هاست.

مقایسۀ ریشه‌های مرتبه‌یکسانِ دو عدد

اگر عبارت‌ها تعریف شده باشند، \( \sqrt[n]{\phantom{x}} \) هیچ‌گاه جهت نامساوی را عوض نمی‌کند:

\[ a< b \Rightarrow \sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b} \]

به‌عنوان نمونه:

\[ \begin{array}{lll} 25 < 36 & \Rightarrow \sqrt{25} < \sqrt{36} & \Rightarrow 5 < 6 \\ 0.25 < 0.64 & \Rightarrow \sqrt{0.25} < \sqrt{0.64} & \Rightarrow 0.5 < 0.8 \end{array} \]

ریشۀ برابر با عدد

فقط سه عدد یافت می‌شود که ریشۀ برابر با خودشان دارند: \( -1,0,1 \).

این‌ها تمام جواب‌های معادلۀ \( x^2=x \) هستند.