تعریف و خواص انواع توان

توان‌های صحیح

توان طبیعی: \( (a \in \mathbb{R}\,,\,n \in \mathbb{N}) \)

\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{\text{n times}} \]

توان صفر: \( (a \neq 0) \)

\[ a^0=1 \]

توان صحیح و منفی: \( (a \neq 0 \,,\,n \in \mathbb{N}) \)

\[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]

مقدار بعضی اعداد توان‌دار را باید (بهتر است) حفظ باشید:

توان‌های 2:

\begin{align*} 2^6 &=64\\ 2^7 &=128\\ 2^8 &=256\\ 2^9 &=512\\ 2^{10} &=1024 \end{align*}

توان‌های 3:

\begin{align*} 3^4 &=81\\ 3^5 &=243\\ 3^6 &=729 \end{align*}

توان‌های 5 و 6 و 7:

\begin{align*} 5^3 &=125\\ 5^4 &=625\\ 6^3 &=216\\ 7^3 &=343 \end{align*}

مربع پایه‌های 11 تا 19:

\begin{align*} {11}^2 &=121\\ {12}^2 &=144\\ {13}^2 &=169\\ {14}^2 &=196\\ {15}^2 &=225\\ {16}^2 &=256\\ {17}^2 &=289\\ {18}^2 &=324\\ {19}^2 &=361 \end{align*}

عبارت \( 0^0 \) تعریف‌نشده است.

توان‌های گویا

با شرط \( a>0 \)، برای عدد گویا و مثبت \( r=\dfrac{m}{n} \)، می‌گوییم:

\[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \]

در حالت خاص \( m=1 \)، رابطه این‌شکلی می‌شود:

\[ a^{\frac{1}{n}} =\sqrt[n]{a} \]

هم‌چنین برای توان‌های گویای منفی، از خواص توان استفاده می‌کنیم؛ در واقع برای هر \( r \in \mathbb{Q} \)، داریم:

\[ a^{-r}=\dfrac{1}{a^r} \]

تعریف توان‌های گنگ، به کمک دنباله‌ها و به شکل پیچیده‌تری انجام می‌شود؛ کتاب درسی اشاره‌ای به آن نکرده و ما هم بی‌خیال می‌شویم! اما خواصی که از توان می‌شناسیم، برای تمام توان‌های حقیقی برقرار است.

\[ 4^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16} \]

خواص توان

برای هر \( a,b \in \mathbb{R}^+ \) و \( r,s \in \mathbb{R} \) می‌گوییم:

\begin{align*} a^{-r} &=\dfrac{1}{a^r}\\ (ab)^r &=a^rb^r\\ (\dfrac{a}{b})^r &=\dfrac{a^r}{b^r}\\ a^r\times a^s &=a^{r+s}\\ \dfrac{a^r}{a^s} &=a^{r-s}\\ (a^r)^s &=a^{rs}\\ \end{align*}

روابط دوم و سوم برای جمع و تفریق برقرار نیستند و در حالت کلی:

\[ (a \pm b)^r \neq a^r \pm b^r \]

در مورد رابطۀ آخر، دقت کنید که عبارت \( a^{r^s} \) برابر \( a^{(r^s)} \) است و با \( (a^r)^s=a^{rs} \) فرق دارد. به‌عنوان مثال:

\begin{align*} 5^{2^3} &=5^{(2^3)}=5^8\\ (5^2)^3 &=5^{(2\times 3)}=5^6 \end{align*}

شرط تعریف توان‌های گویا و گنگ

توان‌های گویای غیرصحیح و توان‌های گنگ، برای پایه‌های نامثبت تعریف نمی‌شوند.
یعنی اگر \( r \in \mathbb{Q}-\mathbb{Z} \) یا \( r \in \mathbb{Q}’ \)، آن‌گاه عبارت \( a^r \) زمانی تعریف‌شده است که \( a>0 \) باشد.

عبارت‌های \( (-1)^{\frac{1}{3}} \)، \( (-2)^{2.5} \) و \( (-1)^{\sqrt{2}} \) تعریف‌نشده‌اند.