ترکیب دنباله‌های حسابی و هندسی

قدرنسبت دنبالۀ هندسی، به کمک سه جملۀ متوالی

اگر \( t_{n-1} \,,\, t_n \,,\, t_{n+1} \) سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ هندسی باشند، قدرنسبت دنباله برابر است با:

\[ r=\dfrac{t_{n+1}-t_n}{t_n-t_{n-1}} \]

کاربرد این رابطه بسیار کم و در مواردی است که محاسبۀ تفاضل جملات راحت‌تر از تقسیم آن‌ها باشد.

در مورد چراییِ این رابطه، می‌نویسیم \( r=\dfrac{t_{n+1}}{t_n}=\dfrac{t_n}{t_{n-1}} \). حالا کافی است به یاد بیاوریم که: در یک تناسب، می‌توانیم صورت‌ها را از هم و مخرج‌ها را (با همان ترتیب) از هم کم نماییم. کار تمام شد!

در یک تناسب، می‌توان ترکیبی خطی از صورت‌ها و همان ترکیب خطی از مخرج‌ها را در نظر گرفت و نوشت:

\[ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k \Rightarrow \dfrac{ma+nc}{mb+nd}=k \]

تفاضل، نوعی ترکیب خطی است \( (m=1,n=-1) \). اثبات این خاصیت نیز با چند طرفین وسطین انجام می‌شود!

اگر \( a^2+a+1\,,a^2+4a+1\,,a^2+10a+1\,,\cdots \) دنباله هندسی باشد، قدرنسبت آن را بیابید.

پاسخ \begin{align*} r &=\frac{t_3}{t_2} =\frac{t_2}{t_1} =\frac{t_3-t_2}{t_2-t_1}\\ &=\frac{(a^2+10a+1)-(a^2+4a+1)}{(a^2+4a+1)-(a^2+a+1)}\\ &=\frac{6a}{3a}=2 \end{align*}

ترکیب مهم دنباله‌های حسابی و هندسی

اگر جملات \( m \)اُم، \( n \)اُم و \( p \)اُم از یک دنبالۀ حسابی، به‌ترتیب سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ هندسی باشند، آن‌گاه قدرنسبت دنبالۀ هندسی، برابر است با:

\[ r=\frac{p-n}{n-m} \]

فرض کنید \( t_m \)، \( t_n \) و \( t_p \) از یک دنبالۀ حسابی، با همین ترتیب، تشکیل دنباله‌ای هندسی بدهند. قدرنسبت دنبالۀ هندسی، برابر می‌شود با:

\[ r=\dfrac{t_p}{t_n}=\dfrac{t_n}{t_m} \]

طبق خواص تناسب، می‌توانیم صورت‌ها را از هم و مخرج‌ها را از هم کم کنیم:

\[ r=\dfrac{t_p-t_n}{t_n-t_m} \]

در دنبالۀ حسابی، \( t_p-t_n=(p-n)\,d \) و \( t_n-t_m=(n-m)\,d \). پس قدرنسبت دنبالۀ هندسی، می‌شود:

\[ r=\dfrac{(p-n)\,d}{(n-m)\,d} \Rightarrow r=\frac{p-n}{n-m} \]

جملات پنجم، هفتم و سیزدهم یک دنبالۀ حسابی، به ترتیب جملات متوالی از یک دنبالۀ هندسی‌‏اند. قدرنسبت دنبالۀ هندسی را بیابید.

روش اول

اگر جملۀ اول دنباله حسابی را \( a \) و قدرنسبت آن را \( d \) بگیریم، جملات پنجم، هفتم و سیزدهم آن، این‌‏شکلی می‏‌شوند:

\[ a+4d\,\,,\,\,a+6d\,\,,\,\,a+12d \]

سؤال گفته این دنباله هندسی است، پس وسطی به توان 2 برابر است با حاصل‏ضرب دو جملۀ دیگر:

\begin{align*} &(a+6d)^2=(a+4d)(a+12d)\\ &\Rightarrow a^2+12ad+36d^2 =a^2+16ad+48d^2\\ &\Rightarrow -4ad =12d^2\\ &\Rightarrow a=-3d \end{align*}

قدرنسبت دنبالۀ هندسی را می‏خواهیم که در سه جملۀ بالا می‏شود نسبت یک جمله به جملۀ قبلی‌‏اش:

\begin{align*} r &=\frac{a+6d}{a+4d}\\ \xrightarrow{a=-3d\,}r &=\frac{-3d+6d}{-3d+4d}\\ &=\frac{3d}{d}=3 \end{align*}

روش دوم

از نکته‌ای که مطرح کردیم، استفاده می‌کنیم و می‌نویسیم:

\[ r=\dfrac{13-7}{7-5}=3 \]