چند نکته در مورد دنباله‌های حسابی

یک تاکتیک به‌دردبخور!

وقتی مجموع سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ حسابی را داریم، بهتر است آن‌ها را به صورت زیر در نظر بگیریم:

\[ t-d \; , \; t \; , \; t+d \]

خوبی این کار این است که در جمع جملات، \( d \)ها حذف می‌شوند و \( t \) خیلی راحت پیدا می‌شود.

اگر 5 جمله داشتیم، چه کنیم؟ بفرمایید:

\[ t-2d \;,\; t-d \;,\; t \;,\; t+d \;,\; t+2d \]

اگر تعداد جملات زوج بود، چه کنیم؟ باز هم باید کاری کنیم که موقع جمع جملات، \( d \)ها حذف شوند. مثلاً برای 4 جمله، دنباله را به شکل زیر در نظر می‌گیریم و دقت می‌کنیم که قدرنسبت برابر \( 2d \) است نه \( d \)!

\[ t-3d \;,\; t-d \;,\; t+d \;,\; t+3d \]

حاصل‏‌جمع سه جملۀ اول از یک دنبالۀ حسابی افزایشی، 21 و حاصل‏‌ضرب آن‏ها 168 شده است. قدرنسبت این دنباله را بیابید.

پاسخ

بهتر است سه جمله را به شکل \( t-d\,,\,t\,,\,t+d \) در نظر بگیریم. سؤال گفته حاصل‏‌جمع این سه عدد مساوی 21 است:

\begin{align*} &(t-d)+(t)+(t+d)=21\\ &\Rightarrow 3t=21\\ &\Rightarrow t=7 \end{align*}\]

حاصل‌‏ضرب سه جمله هم 168 شده:

\begin{align*} &(t-d)(t)(t+d)=168\\ &\Rightarrow t(t^2-d^2)=168\\ &\xrightarrow{t=7} 7(49-d^2)=168\\ &\Rightarrow 49-d^2=24\\ &\Rightarrow d^2=25 \end{align*}

سؤال گفته جملات دنباله افزایشی‌‏اند، پس \( d>0 \) و درنتیجه \( d=5 \).

رابطۀ اندیس‌ها

اگر دو دستۀ‌ دوتایی از جملات یک دنبالۀ حسابی را داشته باشیم طوری‌که مجموع شمارۀ‌ جملات دو دسته با هم مساوی باشد، آن‌گاه حاصل‏جمع خود جملات نیز با هم مساوی خواهد بود:

\begin{align*} &m+n=p+q\\ \Rightarrow \; &t_m+t_n=t_p+t_q \end{align*}

رابطۀ اندیس‌ها را بدین‌شکل می‌توان تعمیم داد: اگر در یک دنبالۀ حسابی، دو دسته از جملات را در نظر بگیریم طوری‌که هم تعداد جملات و هم مجموع شمارۀ جملات (اندیس‌ها) در دو دسته یکسان باشد، آن‌گاه مجموع خود جملات در دو دسته نیز یکسان خواهد بود. به‌عنوان مثال، در یک دنبالۀ حسابی، می‌توانیم بنویسیم:

\begin{align*} t_2+t_5+t_{11} &=t_3+t_7+t_8\\ &=t_4+2t_7\\ &=3t_6 \end{align*}

در دنبالۀ حسابی \( t_1,t_2,t_3,\ldots,t_{50},t_{51},\ldots,t_{98},t_{99},t_{100} \) با 100 جمله، می‌توان نوشت:

\begin{align*} t_1+t_{100} &=t_2+t_{99}\\ &=t_3+t_{98}\\ &\quad \vdots\\ &=t_{50}+t_{51} \end{align*}

دقت کنید که جمع اندیس‌ها در هر دسته 101 می‌شود. هم‌چنین \( t_{50} \) و \( t_{51} \) دو جملۀ وسط هستند.

در دنبالۀ حسابی \( t_1,t_2,t_3,\ldots,t_{50},\ldots,t_{97},t_{98},t_{99} \) با 99 جمله، می‌توان نوشت:

\begin{align*} t_1+t_{99} &=t_2+t_{98}\\ &=t_3+t_{97}\\ &\quad \vdots\\ &=t_{50}+t_{50}\\ &=2t_{50} \end{align*}

دقت کنید که جمع اندیس‌ها در هر دسته 100 می‌شود. هم‌چنین \( t_{50} \) جملۀ وسط است.

فرم کلی جملۀ عمومی دنباله‌های حسابی

جملۀ عمومی هر دنبالۀ حسابی، عبارتی خطی برحسب \( n \) است که در آن، ضریب \( n \) برابر با قدرنسبت دنباله می‌باشد.

برای درک بهتر مطلب، جملۀ عمومی دنباله‌های حسابی را به شکل استاندارد درمی‌آوریم:

\begin{align*} t_n &=t_1+(n-1)\,d\\ &=t_1+nd-d\\ &=(d)n+(t_1-d)\\ \xrightarrow{d=A\;,\;t_1-d=B\,} t_n &=An+B \end{align*}

الگوی مربوط به دنباله‌های حسابی، الگوی خطی است و برعکس؛

تعداد جملات در دنبالۀ حسابی متناهی

برای محاسبۀ تعداد جمله‌های یک دنبالۀ حسابی متناهی، خیلی راحت می‌توانیم بگوییم:

تعداد جملات برابر است با جملۀ آخر منهای جملۀ اول، تقسیم بر قدرنسبت، به‌اضافۀ یک

برای درک بهتر مطلب، از رابطۀ مربوط به جملۀ عمومی دنباله‌های حسابی، \( n \) را به‌دست می‌آوریم:

\begin{align*} t_n &=t_1+(n-1)\,d\\ &\Rightarrow (n-1)d=t_n-t_1\\ &\Rightarrow n-1=\dfrac{t_n-t_1}{d}\\ &\Rightarrow n=\dfrac{t_n-t_1}{d}+1 \end{align*}