یک سؤال معروف هست که در آن سه جملۀ غیرمتوالی از دنبالهای حسابی، جملات متوالی از دنبالهای هندسی میشوند و هدف، پیداکردن قدرنسبت دنبالۀ هندسی است. در اینجا، دو روش برای حل این مدل سؤالها ارائه میکنیم.
صورت کلی سؤال
اگر جملات \(m\)اُم، \(n\)اُم و \(p\)اُم از یک دنبالۀ حسابی غیرثابت، جملات متوالی از یک دنبالۀ هندسی باشند، قدرنسبت دنبالۀ هندسی چیست؟
حل یک مثال به روش عادی
فرض کنیم جملات سوم، هفتم و پانزدهم از یک دنبالۀ حسابی غیرثابت، جملات متوالی از یک دنبالۀ هندسی باشند. میخواهیم قدرنسبت دنبالۀ هندسی را بیابیم.
اگر جملۀ اول دنبالۀ حسابی، \(a_1\) و قدرنسبت آن \(d\) باشد \( (d \neq 0) \)، آنگاه جملات سوم، هفتم و پانزدهم آن بهصورت زیر است:
فرض بر این است که دنبالۀ
\[ a_3\,,\,a_7\,,\,a_{15} \]هندسی است. بنابراین \( a_7 \) واسطۀ هندسی \( a_3 \) و \( a_{15} \) است. یعنی:
\[ \left( a_7 \right)^2=a_3 \cdot a_{15} \]پس:
\begin{align*} \big( a_1+6d \big)^2 &=\big( a_1+2d \big) \cdot \big(a_1+14d \big)\\ (a_1)^2+12a_1d+36d^2 &=(a_1)^2+16a_1d+28d^2\\ 8d^2-4a_1d=0 &\Rightarrow 4d(2d-a_1)=0\\ &\xrightarrow{d \neq 0 \,} a_1=2d \end{align*}حالا قدرنسبت دنبالۀ هندسی، برابر است با:
\[ r=\frac{a_7}{a_3} = \frac{a_1+6d}{a_1+2d} \xrightarrow{a_1=2d\,} r=\frac{2d+6d}{2d+2d}=2 \]البته میتوانستیم بهجای \( r=\dfrac{a_7}{a_3} \) از \( r=\dfrac{a_{15}}{a_7} \) استفاده کنیم و نتیجه، همان است.
یک پیشنیاز: بررسی خاصیتی زیبا از تناسب
در یک تناسب، میتوان ترکیبی خطی از صورتها و همان ترکیب خطی از مخرجها را در نظر گرفت و با این کار، نسبت تغییری نمیکند:
\[ \frac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k \Rightarrow \frac{ma+nc}{mb+nd}=k \]اثبات این ویژگی، ساده است:
\[ \frac{a}{b}=k \Rightarrow a=bk \quad , \quad \frac{c}{d}=k \Rightarrow c=dk \]پس:
\[ \frac{ma+nc}{mb+nd}=\frac{m(bk)+n(dk)}{mb+nd}=\frac{k(mb+nd)}{mb+nd}=k \]بهعنوان نمونه:
\[ \frac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k \Rightarrow \frac{2a+3c}{2b+3d}=\frac{a+4c}{b+4d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=k \]حل صورت کلی سؤال به روش خلاقانه
فرض کنیم جملات \(m\)اُم، \(n\)اُم و \(p\)اُم از یک دنبالۀ حسابی، جملات متوالی از یک دنبالۀ هندسی هستند و میخواهیم قدرنسبت دنبالۀ هندسی \( a_m,a_n,a_p \) را بیابیم. قدرنسبت این دنبالۀ هندسی، بهصورت زیر میباشد:
\[ r=\frac{a_n}{a_m}=\frac{a_p}{a_n} \]طبق خاصیتی که از تناسب گفتیم، میتوانیم تفاضل صورتها و تفاضل مخرجها را در نظر بگیریم:
\[ r=\frac{a_p-a_n}{a_n-a_m} \]از طرفی، اگر جملۀ اول دنبالۀ حسابی \(a_1\) و قدرنسبت آن \(d\) باشد، داریم:
\[ a_p-a_n=\big( a_1+(p-1)d \big) – \big( a_1+(n-1)d \big) =(p-n)d \]و بهطور مشابه،
\[ a_n-a_m=(n-m)d \]پس:
\[ r=\frac{(p-n)d}{(n-m)d} \]و به این شکل، فرمول زیبای زیر بهدست میآید:
\[ r=\frac{p-n}{n-m} \]اگر علاقهمند بودید این فرمول را به خاطر بسپارید، الگوی زیر را در نظر بگیرید:
به عنوان نمونه، در مثال قبل، میتوانستیم بگوییم:
\[ r=\dfrac{15-7}{7-3}=2 \]