مجموع اولین n عدد طبیعی
حاصلجمع اعداد طبیعی از 1 تا \( n \) را بلد باشید:
\[ 1+2+3+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2} \]برای مجموع اولین \( n \) عدد طبیعی زوج، نیازی به حفظ فرمول نیست و خیلی شیک و مجلسی مینویسیم:
\begin{align*} &2+4+6+ \cdots + (2n)\\ &= 2(1+2+3+ \cdots +n) \\ &= 2 \times \frac{n(n+1)}{2} \\ &= n(n+1) \end{align*}یک روش زیبا برای اثبات این رابطه وجود دارد که ایدۀ آن از گاوس (ریاضیدان آلمانی) است. به این صورت که مجموع اعداد 1 تا \( n \) را \( A \) مینامیم؛ سپس این عبارت را یک بار به ترتیب صعودی (شروع از 1، ختم به \( n \)) و یک بار به ترتیب نزولی (شروع از \( n \)، ختم به 1) مینویسیم و دو عبارت را با هم جمع میکنیم.
\[ \begin{array}{r*{9}{c}} A= & 1 & + & 2 & + & \cdots & + & (n-1) & + & n \\ A= & n & + & (n-1) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 \\ \hline 2A= & (n+1) & + & (n+1) & + & \cdots & + & (n+1) & + & (n+1)\\ \end{array} \]تعداد \( (n+1) \)ها، \( n \)تاست. یعنی \( 2A=n(n+1) \) و درنتیجه \( A=\dfrac{n(n+1)}{2} \).
شکل بیستم در الگوی مثلثی زیر، از چند دایرۀ کوچک تشکیل شده است؟
پاسخ
در شکل اول 1 دایره، در شکل دوم \( 1+2 \) دایره، در شکل سوم \( 1+2+3 \) دایره و در شکل چهارم \( 1+2+3+4 \) دایره دیده میشود. در هر شکل، تعداد دایرههای هر سطر را از بالا به پایین در نظر گرفتهایم و در واقع با \( 1+2+3+\cdots+n \) دایره برای شکل \( n \)اُم مواجه هستیم. پس در شکل بیستم، تعداد دایرهها برابر است با:
\begin{align*} &1+2+3+\cdots+20\\ &=\dfrac{20(20+1)}{2}=210 \end{align*}مجموع اولین n عدد طبیعی فرد
\( n \) اُمین عدد فرد، برابر است با \( 2n-1 \) و حاصلجمع \( n \) عدد فرد با شروع از 1، چنین است:
\[ 1+3+5+ \cdots +(2n-1)=n^2 \]یک مدل مسئلۀ معروف؛ دستهبندی جملات دنباله!
بعضی وقتها جملات یک دنباله را به طریقی دستهبندی میکنند و در مورد یک دستۀ مشخص سؤال میپرسند. راهکار کلی برای کنارآمدن با این نوع سؤالها، این است که مشخص کنم برای رسیدن به دستۀ موردنظر (تا انتهای دستۀ قبل از آن)، چند جمله از دنباله مصرف میشود.