دنباله‌های بازگشتی

فرم بازگشتی

بعضی وقت‌ها یک دنباله به‌طور بازگشتی معرفی می‌شود. یعنی:

  • اولاً مقدار یک یا چند جملۀ اول دنباله مشخص می‌شود.
  • ثانیاً رابطه‌ای کلی بین \( t_{n-1} \)، \( t_{n} \)، \( t_{n+1} \) یا … بیان می‌شود.

در فرم بازگشتی، جملۀ عمومی دنباله معرفی نمی‌شود. جملۀ عمومی، \( t_n \) را صراحتاً برحسب \( n \) بیان می‌کند!

برای درک بهتر مطلب، معرفی یک دنباله را به سه روش ببینید.

معرفی دنباله با نوشتن جملات:

\[ 2,7,12,17,\ldots \]

معرفی دنباله با جملۀ عمومی:

\[ t_n=5n-3 \]

معرفی دنباله به سبک بازگشتی:

\[ t_1=2\;,\;t_{n+1}=t_n+5 \]

نوشتن جملات دنبالۀ بازگشتی

برای نوشتن جملات یک دنبالۀ بازگشتی، دو راه داریم:

  • روش اول: در رابطۀ بازگشتی، به‌جای \( n \)، مقادیر طبیعی 1،2،3، و … را قرار دهیم.
  • روش دوم (بهتر): از تعبیر فارسیِ رابطۀ بازگشتی استفاده کنیم.

می‌خواهیم جملات دنبالۀ بازگشتی «\( \,t_1=2\;,\;t_{n+1}=3t_n+1 \)» را بنویسیم.

روش اول

به‌جای \( n \)، مقادیر طبیعی 1،2،3، و … را قرار می‌دهیم.

\begin{align*} t_{n+1} &=3t_n+1\\ &\xrightarrow{n=1\,} t_2=3t_1+1 \\ &\xrightarrow{t_1=2\,} t_2=3(2)+1=7\\ t_{n+1} &=3t_n+1\\ &\xrightarrow{n=2\,} t_2=3t_1+1 \\ &\xrightarrow{t_2=7\,} t_3=3(7)+1=22\\ t_{n+1} &=3t_n+1\\ &\xrightarrow{n=3\,} t_2=3t_1+1 \\ &\xrightarrow{t_3=22\,} t_4=3(22)+1=67 \\ &\quad\;\vdots \end{align*}

بنابراین جملات دنباله به‌صورت «\( 2,7,22,67,\ldots\, \)» است.

روش دوم

رابطۀ بازگشتی، می‌گوید «هر جمله را در 3 ضرب و با 1 جمع کنیم». نتیجه همان می‌شود:

\[ 2 \xrightarrow{\times 3 \;\; +1\,} 7 \xrightarrow{\times 3 \;\; +1\,} 22 \xrightarrow{\times 3 \;\; +1\,} 67 \]

دنبالۀ فیبوناچی

معروف‌ترین دنبالۀ بازگشتی، «فیبوناچی» است. در این دنباله، دو جملۀ اول برابر 1 هستند و پس از آن، هر جمله برابر با مجموع دو جملۀ قبل از خود است.

جملات دنبالۀ فیبوناچی:

\[ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots\\ \]

فرم بازگشتی دنبالۀ فیبوناچی:

\[ t_1=t_2=1 \;,\; t_{n+2}=t_{n+1}+t_n \]

جملۀ عمومی دنبالۀ فیبوناچی، به این صورت است: (حفظ نکنید!)

\[ t_n=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\left( (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n \right) \]