تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعۀ دلخواه
این را حتماً باید بلد باشید که:
\[ n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B) \]میدانید چرا یک \( n(A \cap B) \) کم کردیم؟ چون اگر برای شمردن تعداد عضوهای \( A \cup B \)، تعداد عضوهای \( A \) و \( B \) را جداگانه بشمریم، \( n(A \cap B) \) دو بار شمرده میشود (یک بار موقع شمردن عضوهای \( A \) و یک بار موقع شمردن عضوهای \( B \)). پس باید یک بارش را کم کنیم!
راستی نیازی نیست بلد باشید که برای تعداد عضوهای اجتماع سه مجموعه، رابطۀ زیر را داریم!
\begin{align*} &n(A \cup B \cup C)\\ &= n(A)+n(B)+n(C)\\ &-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n( A \cap C)\\ &+n(A \cap B \cap C) \end{align*}تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعۀ جدا از هم
اگر مجموعههای \( A \) و \( B \) جدا از هم باشند \( (A \cap B = \varnothing) \)، آنگاه:
\[ n(A \cup B) = n(A)+n(B) \]تعداد عضوهای اجتماع یک مجموعه و متمم آن
مجموعههای \( A \) و \( A’ \) همیشه جدا از هم هستند، پس همواره:
\[ n(A)+n(A’)=n(A \cup A’)=n(U) \]رابطۀ بین تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه با تعداد عضوهای اجزای آن
قبلاً گفتیم \( A \cup B = (A-B) \cup (A \cap B) \cup (B-A) \) و حالا میگوییم:
\[ n(A \cup B) = n(A-B)+n(A \cap B)+n(B-A) \]شکل زیر را به یاد بیاورید:
تعداد عضوهای تفاضل دو مجموعه
قبلاً گفتیم \( A-B=A-(A \cap B) \) و حالا میگوییم:
\[ n(A-B)=n(A)-n(A \cap B) \]قانون دمورگان
برای هر دو مجموعۀ دلخواه \( A \) و \( B \)، میتوانیم بگوییم:
\begin{align*} (A \cap B)’ &= A’ \cup B’ \\ (A \cup B)’ &= A’ \cap B \end{align*}کَلَکِ ناحیهبندی وِن!
خیلی وقتها بهجای استفاده از روابط جبری، میتوان با ناحیهبندی نمودار وِن قال قضیه را کند! به این صورت که پس از رسم نمودارِ وِن مناسب، به هر قسمت محصور یک شماره اختصاص میدهیم و اطلاعات مسئله را روی آنها پیاده میکنیم.
اگر \( n(A’) =20 \) و \( n(B-A)=11 \) باشد، متمم مجموعۀ \( A \cup B \) چند عضو دارد؟
پاسخ (روش اول)
اگر مجموعۀ مرجع را \( U \) بنامیم، داستان اینشکلی میشود:
\begin{align*} n(A \cup B)’&=n(U)-n(A \cup B)\\ &=n(U)-(n(A)+n(B)-n(A \cap B))\\ &=(n(U)-n(A))-(n(B)-n(B \cap A))\\ &=n(A’)-n(B-A)=20-11=9 \end{align*}پاسخ (روش دوم)
طبق قانون دمورگان، \( (a \cup B)’=(A’ \cap B’) \)؛ پس:
\begin{align*} n(A \cup B)’&=n(A’ \cap B’)\\ &=n(A’-(B’)’)\\ &=n(A’-B)\\ &=n(A’)-n(A’ \cap B)\\ &=n(A’)-n(B \cap A’)\\ &=n(A’)-n(B-A)\\ &=20-11=9 \end{align*}پاسخ (روش سوم)
یک نمودار وِن رسم و نواحی آن را شمارهگذاری میکنیم:
با توجه به شکل، \( A’ \) شامل نواحی \( \enclose{circle}{3} \) و \( \enclose{circle}{4} \) است. همچنین \( B-A \) ناحیۀ \( \enclose{circle}{1} \) و متمم \( A \cup B \) ناحیۀ \( \enclose{circle}{4} \) است. بنابراین مینویسیم:
\begin{align*} n(A’)=20 &\Rightarrow \enclose{circle}{3}+\enclose{circle}{4}=20\\ n(B-A)=11 &\Rightarrow \enclose{circle}{3}=11 \end{align*}حالا بهراحتی نتیجه میشود ناحیۀ \( \enclose{circle}{4} \) دارای \( 20-11=9 \) عضو است و این یعنی متمم \( A \cup B \) دارای 9 عضو میباشد.
البته در این مسئله، بدون شمارهگذاری نواحی هم تابلوست که \( A’ \) از دو مجموعۀ جدا از همِ \( B-A \) و \( (A \cup B)’ \) تشکیل شده است. یعنی \( n(A’)=n(B-A)+n(A \cup B)’ \) و ادامۀ داستان روشن است!