متمم یک مجموعه

مجموعۀ مرجع و متمم یک مجموعه

در هر مبحث، مجموعه‌ای را که همۀ مجموعه‌های مورد بحث، زیرمجموعۀ آن باشند، مجموعۀ مرجع می‌نامیم و معمولاً آن را با \( U \) نشان می‌دهیم.
هم‌چنین برای هر مجموعۀ دلخواه مانند \( A \) که \( A \subseteq U \)، مجموعۀ \( U-A \) را متمم \( A \) می‌نامیم و آن را با نماد \( A’ \) یا \( A^c \) نشان می‌دهیم. در واقع:

\[ A’=\{ x \in U \mid x \notin A \} \]

موقعیت یک مجموعه و متمم‌اش را در مجموعۀ مرجع، به شکل‌ می‌توان نمایش داد:

یا به شکل زیر:

هنگام بحث در مورد مجموعه‌های اعداد، اگر مجموعۀ مرجع مشخص نشده باشد، \( \mathbb{R} \) را به‌عنوان مجموعۀ مرجع در نظر می‌گیریم.

چند رابطۀ تابلوی متمّمی!

همواره می‌توانیم بگوییم:

\begin{align*} U’ &= \varnothing \\ {\varnothing}’ &= U \\ (A’)’ &= A \\ A \cap A’ &=\varnothing \\ A \cup A’&= U \\ \end{align*}

روابط بالا، بیش از آن‌که حفظی باشند، واضح و مبرهن و تابلو هستند!

اثر متمم‌گیری بر روی رابطۀ زیرمجموعه‌گی!

متمم‌گیری، رابطۀ زیرمجموعه‌بودن را برعکس می‌کند:

\[ A \subseteq B\quad \Leftrightarrow \quad B’ \subseteq A’ \]

ترجمۀ \( A \subseteq B \)، گزارۀ شرطی «اگر \( x \in A \) آن‌گاه\( x \in B \)» می‌باشد. همیشه وقتی یک گزارۀ شرطی برقرار است، «عکس نقیض» آن گزاره هم برقرار خواهد بود. برای رسیدن به عکس نقیض، باید شرط‌ها را مخالف (نقیض) و جای آن‌ها را عوض (عکس) کنیم. عکس نقیض گزارۀ بالا، این‌شکلی می‌شود: «اگر \( x \notin B \) آن‌گاه \( x \notin A \)» که به‌صورت «اگر \( x \in B’ \) آن‌گاه \( x \in A’ \)» هم قابل بیان است. خب ترجمۀ ریاضی این گزاره، \( B’ \subseteq A’ \)می‌شود. این داستان را از آخر به اول هم می‌شود گفت.

ارتباط متمم و تفاضل!

اشتراک با متمم، یعنی تفاضل بی متمم!

\[ A \cap B’=A-B \]

اگر \( x \) عضو دلخواهی از \( A \cap B’ \) باشد، آن‌گاه \( x \in A \) و \( x \in B’ \) خواهد بود. یعنی \( x \in A \) و \( x \notin B \). خب این همان \( x \in (A-B) \) می‌شود! این داستان را از آخر به اول هم می‌شود گفت.

تفاضل متمم‌ها

تفاضل متمم‌ها، ترتیب تفاضل اصلی‌ها را برعکس می‌کند:

\[ A’-B’=B-A \]

در واقع:

\begin{align*} A’-B’ &= A’ \cap (B’)’ \\ &= A’ \cap B \\ &=B \cap A’=B-A \end{align*}