مجموعه‌های اعداد

مجموعه‌های اعداد معروف

این شما و این معروف‌ترین مجموعه‌های اعداد:

مجموعۀ اعداد طبیعی:

\[ \mathbb{N}= \{ 1,2,3,4,5,\ldots \} \]

مجموعۀ اعداد حسابی:

\begin{align*} \mathbb{W} &= \{ 0,1,2,3,4,\ldots \}\\ &=\{0\} \cup \mathbb{N} \end{align*}

مجموعۀ اعداد صحیح:

\begin{align*} \mathbb{Z} &= \{ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots \}\\ &=\{ -n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \mathbb{W} \end{align*}

مجموعۀ اعداد گویا:

\[ \mathbb{Q}= \left\lbrace \dfrac{m}{n} \mid m,n \in \mathbb{Z}\,,\,n \neq 0 \right\rbrace \]

مجموعۀ اعداد گنگ \( ({\mathbb{Q}}’) \): شامل اعداد اعشاری نامختوم بدون تکرار منظم.

مجموعۀ اعداد حقیقی:

\[ \mathbb{R}= \mathbb{Q} \cup {\mathbb{Q}}’ \]

اعداد گنگ را نمی‌توان به‌‌صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد.

نمایش مجموعه‌های اعداد به کمک نمودار وِن را ببینید:

به این شکل هم می‌توان نمایش داد:

هر عدد حقیقی را می‌توان به شکل اعشاری نوشت و برای آن، سه حالت ممکن است پیش بیاید.
حالت اول: عدد اعشاری مختوم باشد؛ یعنی تعداد ارقام آن بعد از ممیز، متناهی باشد.
این اعداد، همگی گویا هستند و به‌راحتی می توان آن‌ها را به‌صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. مانند اعداد زیر:

\begin{align*} 0.125 &=\dfrac{125}{1000}=\dfrac{1}{8}\\ -2.7561 &=-2+\dfrac{756}{10000}\\ &=-\dfrac{12439}{10000} \end{align*}

حالت دوم: عدد اعشاری نامختوم باشد (بعد از ممیز، بی‌شمار رقم داشته باشد) و از جایی بعد از ممیز، یک یا چند رقم به‌طور مداوم تکرار شوند؛ این اعداد نیز گویا هستند.
قسمت تکرارشونده در این اعداد را «دورۀ گردشی» می‌نامیم و برای نمایش راحت‌تر عدد، می‌توانیم آن را یک بار بنویسیم و بالایش یک خط قرار دهیم. برای آن‌که این اعداد را به فرم نسبت دو عدد صحیح بنویسیم، کسری تشکیل می‌دهیم که صورت آن شامل قسمت گردشی باشد و در مخرجش به تعداد ارقام گردشی، رقم 9 می‌نویسیم. دو نمونه ببینید:

\begin{align*} 0.3333\cdots &=0.\overline{3}\\ &=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\\ 2.18181818\cdots &=2.\overline{18}\\ &=2+0.\overline{18}\\ &=2+\dfrac{18}{99}\\ &=2+\dfrac{2}{11}\\ &=\dfrac{24}{11} \end{align*}

ممکن است چند رقمی که بلافاصله بعد از ممیز قرار دارند، جزء قسمت تکرارشونده نباشند که به آن «دورۀ غیرگردشی» می‌گوییم. برای آن‌که این اعداد را به شکل نسبت دو عدد صحیح بنویسیم، یک کسر تشکیل می‌دهیم که در صورت آن:

قسمت گردشی و غیرگردشی منهای قسمت گردشی

شده و در مخرجش:

به تعداد ارقام گردشی 9 و به تعداد ارقام غیرگردشی 0

وجود دارد. یک نمونه ببینید:

\begin{align*} 1.3454545\cdots &=1.3\overline{45}\\ &=1+0.3\overline{45}\\ &=1+\dfrac{345-3}{990}\\ &=1+\dfrac{342}{990}\\ &=1+\dfrac{38}{110}\\ &=\dfrac{148}{110} \end{align*}

حالت سوم: عدد اعشاری نامختوم باشد و بعد از ممیز نظم تکراری و مداوم وجود نداشته باشد؛ این اعداد گنگ هستند. مانند اعداد زیر:

\begin{align*} \sqrt{2} &=1.4142135624\cdots\\ \pi &=3.1415926535\cdots\\ e &=2.7182818284\cdots \end{align*}