حاصل‌جمع، حاصل‌ضرب و تفاضل ریشه‌ها

حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها

اگر \( x_1 \) و \( x_2 \) جواب‌های معادلۀ درجه‌دوم \( ax^2+bx+c=0 \) باشند، آن‌گاه:

\begin{align*} S &=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ P &=x_1x_2=\dfrac{c}{a} \end{align*}

داستان از این قرار است:

\begin{align*} S &=x_1+x_2\\ &=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\ &=\frac{-2b}{2a} =-\frac{b}{a}\\ P &=x_1 x_2\\ &=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}\\ &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=\frac{4ac}{4a^2} =\frac{c}{a} \end{align*}

تفاضل ریشه‌ها

اگر \( x_1 \) و \( x_2 \) جواب‌های معادلۀ درجه‌دوم \( ax^2+bx+c=0 \) باشند، آن‌گاه:

\[ D=|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \]

تفاضل ریشه‌ها برحسب حاصل‌جمع ریشه‌ها \( S \) و حاصل‌ضرب ریشه‌ها \( P \)، به صورت زیر است:

\[ D=|x_1-x_2|=\sqrt{S^2-4P} \]

این‌جا را ببینید:

\begin{align*} D &=\,|x_1-x_2|\\ &=|\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}|\\ &=|\frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}|\\ &=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \end{align*}

رابطۀ \(D=\sqrt{S^2-4P} \) را نیز کمی جلوتر بررسی می‌کنیم!

حاصل‏‌جمع، حاصل‏‌ضرب و تفاضل جواب‏‌های معادلۀ \( 3x^2-4x-6=0 \) را بیابید.

پاسخ


در این معادله، \( a=3 \)، \( b=-4 \) و \( c=-6 \). چون \( a \) و \( c \) مختلف‌‏العلامت‌‏اند، معادله دو ریشه دارد و داریم:

\begin{align*} S &=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}\\ P &=\frac{c}{a}=\frac{-6}{3}=-2 \end{align*}

هم‏چنین \( \Delta =b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(-6)=88 \) و تفاضل ریشه‏‌ها برابر است با:

\begin{align*} D &=\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|} =\frac{\sqrt{88}}{|3|}\\ &=\frac{\sqrt{4\times 22}}{3} =\frac{2\sqrt{22}}{3} \end{align*}

یک نکتۀ خیلی خاصِ به‌دردنخور!

اگر ضرایب یک معادلۀ‏ درجه‌‏دوم گویا باشند و یک ریشۀ‏ معادله به فرم \( \alpha+\sqrt{\beta} \) باشد، ریشۀ‏ دیگر معادله، مزدوج آن \( \alpha-\sqrt{\beta} \) خواهد بود. (\( \alpha,\beta \in \mathbb{Q} \) و \( \beta >0 \))

اگر \( a\,,\,b\,,c\in \mathbb{Z}-\{0\} \) و \( x_1=2-\sqrt{3} \) یک جواب معادلۀ \( ax^2+bx+c=0 \) باشد، جواب دیگر این معادله را بیابید.

پاسخ

چون ضرایب معادله صحیح‌‏اند، \( S \) و \( P \) گویا می‏‌شوند و رادیکال ندارند. پس به ناچار، ریشۀ دیگر مزدوج \( x_1 \) یعنی به صورت \( x_2=2+\sqrt{3} \) است.

در حال حاضر دیدگاهی وجود ندارد. شما اولین دیدگاه را ثبت کنید!

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

نوزده − 12 =