معادلۀ درجه‌دوم و روش‌های حل آن

فرم کلی معادلۀ درجه‌دوم

  • فرم کلی و استاندارد هر معادلۀ درجه‌دوم به‌صورت \( ax^2+bx+c=0 \) است \( (a \neq 0) \).
  • هر معادلۀ درجه‌دوم حداکثر دو جواب حقیقی دارد.

منظور از نمایش استاندارد، این است که همۀ جملات در یک طرف تساوی قرار داشته باشند و از توان بزرگ به توان کوچک نوشته شده باشند.
به‌عنوان مثال، معادله‌های \( 2x^2+3x=4 \) و \( 3x+2x^2-4=0 \) به شکل استاندارد نوشته نشده‌اند و شکل استاندارد آن‌ها به‌صورت \( 2x^2+3x-4=0 \) است.
بنابراین در این معادله، باید بگوییم \( a=2 \)، \( b=3 \) و \( c=-4 \).

یک معادلۀ چندجمله‌ای از درجۀ \( n \)، حداکثر \( n \) جواب حقیقی دارد.

حل معادلۀ درجه‌دوم به روش ریشه‌گیری

اگر معادله به‌صورت تساوی یک عبارت مربع کامل و یک عدد نامنفی نوشته شده باشد، از دو طرف جذر می‌گیریم و البته علامت \( \pm \) را فراموش نمی‌کنیم. سپس در هر یک از حالت‌های ایجادشده، جواب را پیدا می‌کنیم.

حل معادلۀ \( (x-3)^2=25 \) را ببینید:

\begin{align*} (x-3)^2=25 &\Rightarrow x-3=\pm 5\\ &\Rightarrow x=3\pm 5\\ &\Rightarrow x=-2 \;\text{or}\; x=8 \end{align*}

حل معادلۀ درجه‌دوم به روش تجزیه، قسمت اول

وقتی ضریب \( x^2 \) برابر 1 و معادله به‌صورت \( x^2+bx+c=0 \) نوشته شده است، دنبال دو عدد می‌گردیم که جمعشان \( b \) و ضربشان \( c \) شود؛ اگر آن دو عدد \( \alpha \) و \( \beta \) باشند، معادله به شکل \( (x-\alpha)(x-\beta)=0 \) نوشته می‌شود و جواب‌های معادله عبارتند از \( x=\alpha \) و \( x=\beta \).

طبق اصل ضرب، اگر \( A \times B =0 \) آن‌گاه \( A=0 \) یا \( B=0 \). در این‌جا هم از \( (x-\alpha)(x-\beta)=0 \) نتیجه شد \( (x-\alpha)=0 \) یا \( (x-\beta)=0 \) و این‌گونه به جواب‌های معادله رسیدیم.

برای حل معادلۀ \( x^2-4x-21=0 \)، دنبال دو عدد می‌گردیم که جمعشان \( -4 \) و ضربشان \( -21 \) شود؛ آن دو عدد 3 و \( -7 \) هستند. پس می‌نویسیم:

\begin{align*} &x^2-4x-21=0\\ &\Rightarrow (x+3)(x-7)=0\\ &\Rightarrow x=-3 \;\text{or}\; x=7 \end{align*}

حل معادلۀ درجه‌دوم به روش تجزیه، قسمت دوم

وقتی ضریب \( x^2 \) مخالف 1 و معادله به‌صورت \( ax^2+bx+c=0 \) است، سه گام زیر را طی می‌کنیم:

  • گام 1: \( a \) را برمی‌داریم و در \( c \) ضرب می‌کنیم: \( x^2+bx+ac=0 \).
  • گام 2: معادلۀ حاصل را حل می‌کنیم (معمولاً به روش تجزیه).
  • گام 3: جواب‌های به‌دست‌آمده را بر \( a \) تقسیم می‌کنیم.

معادلۀ \( 2x^2+5x-12=0 \) را به روش تجزیه حل کنید.

پاسخ


گام 1: ضریب \( x^2 \) را برمی‌داریم و در عدد تنهای معادله ضرب می‌کنیم:

\begin{align*} &x^2+5x+(2)(-12)=0\\ &\Rightarrow x^2+5x-24=0 \end{align*}

گام 2:‌ این معادله را به روش تجزیه حل می‌کنیم:

\begin{align*} &(x+8)(x-3)=0\\ &\Rightarrow x=-8 \;\text{or}\; x=3 \end{align*}

گام 3: جواب‌های به‌دست‌آمده را بر ضریب \( x^2 \)ی اولیه یعنی 2 تقسیم می‌کنیم:

\[ x=\dfrac{-8}{2}=-4 \quad,\quad x=\dfrac{3}{2} \]

حل معادلۀ درجه‌دوم به روش مربع کامل

برای حل معادله به روش ایجاد مربع کامل، گام‌های زیر را طی می‌کنیم:

  • گام 1: اگر ضریب \( x^2 \) مخالف 1 بود، دو طرف معادله را بر آن تقسیم می‌کنیم.
  • گام 2: در معادلۀ حاصل، نصف ضریب \( x \) را مشخص می‌کنیم؛ اگر نصف ضریب \( x \) را \( \alpha \) بنامیم، عبارت \( (x+\alpha)^2=0 \) را تشکیل می‌دهیم.
  • گام 3: همان نصف ضریب \( x \) را مجذور و از عبارت سمت چپ در تساوی بالا کم می‌کنیم؛ هم‌زمان عدد تنهای موجود در معادلۀ اصلی را اضافه می‌نماییم. با این کارها، معادلۀ حاصل با معادلۀ اصلی یکسان شود.
  • گام 4: معادلۀ حاصل را به روش ریشه‌گیری حل می‌کنیم.

معادلۀ \( 4x^2-24x-1=0 \) را به روش مربع کامل حل کنید.

پاسخ


گام 1: دو طرف معادله را بر ضریب \( x^2 \) یعنی 4 تقسیم می‌کنیم:

\begin{align*} &4x^2-24x-1=0\\ &\xrightarrow{\div 4\,} x^2-6x-\dfrac{1}{4}=0 \end{align*}

گام 2: نصف ضریب \( x \) می‌شود 3؛ پس این عبارت را در نظر می‌گیریم: \( (x-3)^2=0 \).
گام 3: مجذور نصف ضریب \( x \) می‌شود \( (-3)^2=9 \) که این را از عبارت سمت چپ تساوی کم و عدد تنهای \( -\dfrac{1}{4} \) (از معادلۀ \( x^2-6x-\dfrac{1}{4}=0 \)) را به آن اضافه می‌کنیم:

\begin{align*} &(x-3)^2-9+(-\dfrac{1}{4})=0\\ &\Rightarrow (x-3)^2-\dfrac{37}{4}=0 \end{align*}

گام 4: این معادله را به روش ریشه‌گیری حل می‌کنیم:

\begin{align*} &(x-3)^2=\dfrac{37}{4}\\ &\Rightarrow x-3=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{2} \\ &\Rightarrow x=3\pm\dfrac{\sqrt{37}}{2} \end{align*}

حل معادلۀ درجه‌دوم به روش فرمول کلی (دلتا)

در معادلۀ درجه‌دوم \( ax^2+bx+c=0 \):

  • عبارت \( b^2-4ac \) را دلتا یا مُبَیِّن معادله می‌نامیم و آن را با \( \Delta \) نشان می‌دهیم.
  • تعداد جواب‌های معادله، به علامت دلتا بستگی دارد.

اگر \( \Delta >0 \) آن‌گاه معادله دو جواب حقیقی (ساده و متمایز) دارد:

\[ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

اگر \( \Delta =0 \) آن‌گاه معادله یک جواب حقیقی (مضاعف) دارد:

\[ x=-\dfrac {b}{2a} \]

اگر \( \Delta <0 \) آن‌گاه معادله جواب حقیقی ندارد.

روش فرمول کلی، برگرفته از روش مربع کامل است. خلاصۀ داستان را ببینید:

\begin{align*} &ax^2+bx+c=0\\ &\xrightarrow{\div a\,} x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\\ &\Rightarrow (x+\dfrac{b}{2a})^2-(\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{c}{a}=0\\ &\Rightarrow (x+\dfrac{b}{2a})^2 =\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\\ &=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} =\dfrac{\Delta}{4a^2}\\ &\xrightarrow{\Delta \ge 0\,} x+\dfrac{b}{2a} =\pm \sqrt{\dfrac{\Delta}{4a^2}} =\pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}

معادلۀ \( 3x^2+4x-2=0 \) را با روش فرمول کلی حل کنید.

پاسخ


می‌نویسیم:

\begin{align*} x &=\frac{-4\pm \sqrt{16-4(3)(-2)}}{2\times 3}\\ &=\frac{-4\pm \sqrt{40}}{6}\\ &=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{6}\\ &=\frac{-2\pm \sqrt{10}}{3} \end{align*}

یک ترفند برای روش دلتا

در معادلۀ درجه‏‌دومی که می‏‌خواهیم آن را با روش دلتا حل کنیم، اگر ضریب \( x \) زوج باشد، بهتر است طرفین معادله را تقسیم بر 2 کنیم، بعد دلتا بزنیم. از کسری‏‌شدن ضرایب هم نترسیم!

مشابه این روش، به روش \( \Delta’ \) معروف است و همۀ این کارها، برای کاهش حجم محاسبات است.

معادلۀ \( 3x^2+4x-2=0 \) را با درنظرگرفتن این نکته حل می‌کنیم. چون ضریب \( x \) زوج است، دو طرف معادله را بر 2 تقسیم می‏کنیم:

\[ \frac{3}{2}{x^2}+2x-1=0 \]

حالا \( \Delta =4-4(\frac{3}{2})(-1)=10 \) و درنتیجه:

\[ x=\frac{-2\pm \sqrt{10}}{3} \]

یک نکته

در معادلۀ درجه‌دوم \( ax^2+bx+c=0 \):
اگر ضریب \( x^2 \) یعنی \( a \) و عدد ثابت c مختلف‌العلامت باشند \( (ac<0) \)، آن‌گاه حتماً دلتای معادله مثبت می‌شود و معادله دو جواب حقیقی و متمایز دارد.

دقت کنید که عکس این مطلب در حالت کلی صحیح نیست. یعنی ممکن است ضریب \( x^2 \) و عدد تنهای معادله هم‌علامت باشند و دلتا مثبت باشد. به‌عنوان نمونه، در معادلۀ \( x^2+5x+2=0 \) چنین است.

خب \( \Delta=b^2-4ac \) و اگر \( ac<0 \) باشد، \( -4ac>0 \) خواهد بود؛ یعنی دلتا مجموع عبارت نامنفی \( b^2 \) با عبارت مثبت \( -4ac \) می‌شود و حاصل آن مثبت است.

جواب مضاعف

در بحث معادلۀ درجه‌دوم، چهار عبارت زیر معادل یکدیگرند:

فقط یک جواب، دو جواب یکسان، جواب مضاعف، دلتا مساوی صفر

در معادله‌های چندجمله‌ای، اگر پس از تجزیه عامل ضربی \( (x-\alpha)^n \) دیده شود، \( x=\alpha \) ریشۀ مکرر مرتبه \( n \) نامیده می‌شود. به‌طور دقیق‌تر، منظور معادله‌های به فرم \( (x-\alpha)^n g(x)=0 \) است که در آن \( g(x) \) یک چندجمله‌ای برحسب \( x \) می‌باشد و \( g(\alpha) \neq 0 \).
هم‌چنین ریشۀ مرتبه 1 را ساده و ریشۀ مرتبه 2 را مضاعف می‌نامیم. به‌عنوان نمونه، در معادلۀ \( (x-2)(x+4)^2 (x-5)^3=0 \)، \( x=2 \) ریشۀ ساده، \( x=-4 \) ریشۀ مضاعف و \( x=5 \) ریشۀ مکرر مرتبه 3 است.

در حال حاضر دیدگاهی وجود ندارد. شما اولین دیدگاه را ثبت کنید!

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

3 × پنج =